1. จากทีม Manchester United ลงแข่งขันทั้งหมด 5 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ Manchester United ชนะแต่ละครั้ง คือ $$ \frac{1}{5} $$ จงหา 1.1 ความน่าจะเป็นที่จะชนะ 1 ครั้ง 1.2 ความน่าจะเป็นที่จะแพ้ 5 ครั้ง 1.3 ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อย 4 ครั้ง 1.4 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม 1.5 สัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่ม สั่ ค่

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

เพื่อหาความน่าจะเป็นและค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มในกรณีนี้ เราจะใช้การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี (Bernoulli distribution) เนื่องจากมีการทดลองที่มีผลลัพธ์สองแบบ (ชนะหรือแพ้) และมีความน่าจะเป็นคงที่ในการชนะในแต่ละครั้ง

### ข้อมูลที่ให้มา
- จำนวนการแข่งขัน $$ n = 5 $$
- ความน่าจะเป็นที่ Manchester United ชนะในแต่ละครั้ง $$ p = \frac{1}{5} $$
- ความน่าจะเป็นที่แพ้ $$ q = 1 - p = \frac{4}{5} $$

### 1.1 ความน่าจะเป็นที่จะชนะ 1 ครั้ง
ใช้สูตรความน่าจะเป็นของการชนะ $$ k $$ ครั้งใน $$ n $$ ครั้ง:
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}
$$
สำหรับ $$ k = 1 $$:
$$
P(X = 1) = \binom{5}{1} \left(\frac{1}{5}\right)^1 \left(\frac{4}{5}\right)^{5-1}
$$

### 1.2 ความน่าจะเป็นที่จะแพ้ 5 ครั้ง
สำหรับ $$ k = 0 $$ (ชนะ 0 ครั้ง):
$$
P(X = 0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{5}\right)^0 \left(\frac{4}{5}\right)^{5}
$$

### 1.3 ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อย 4 ครั้ง
ต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่จะชนะ 4 หรือ 5 ครั้ง:
$$
P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)
$$
โดยที่:
$$
P(X = 4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{5}\right)^4 \left(\frac{4}{5}\right)^{1}
$$
$$
P(X = 5) = \binom{5}{5} \left(\frac{1}{5}\right)^5 \left(\frac{4}{5}\right)^{0}
$$

### 1.4 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม
ค่าคาดหมาย $$ E(X) $$ ของการแจกแจงเบอร์นูลลีคือ:
$$
E(X) = n \cdot p
$$

### 1.5 สัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่ม
สัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่มในกรณีนี้คือ $$ X $$ ซึ่งแทนจำนวนครั้งที่ Manchester United ชนะในการแข่งขัน 5 ครั้ง

ตอนนี้เราจะคำนวณค่าต่าง ๆ ที่กล่าวถึงข้างต้น:
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$5\times \frac{1}{5}$$
- step1: Reduce the numbers:
  $$1\times 1$$
- step2: Simplify:
  $$1$$
Calculate or simplify the expression $$ binom(5,0)*(1/5)^0*(4/5)^(5) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$binom\times 5\left(\frac{1}{5}\right)^{0}\left(\frac{4}{5}\right)^{5}$$
- step1: Evaluate the power:
  $$binom\times 5\times 1\times \left(\frac{4}{5}\right)^{5}$$
- step2: Rewrite the expression:
  $$binom\times 5\left(\frac{4}{5}\right)^{5}$$
- step3: Reorder the terms:
  $$ibnom\times 5\left(\frac{4}{5}\right)^{5}$$
- step4: Multiply the numbers:
  $$5ibnom\left(\frac{4}{5}\right)^{5}$$
- step5: Multiply the numbers:
  $$\frac{1024}{625}ibnom$$
Calculate or simplify the expression $$ binom(5,4)*(1/5)^4*(4/5)^(1) + binom(5,5)*(1/5)^5*(4/5)^(0) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$binom\times 5.4\left(\frac{1}{5}\right)^{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{1}+binom\times 5.5\left(\frac{1}{5}\right)^{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{0}$$
- step1: Evaluate the power:
  $$binom\times 5.4\left(\frac{1}{5}\right)^{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{1}+binom\times 5.5\left(\frac{1}{5}\right)^{5}\times 1$$
- step2: Calculate:
  $$binom\times 5.4\left(\frac{1}{5}\right)^{4}\times \frac{4}{5}+binom\times 5.5\left(\frac{1}{5}\right)^{5}\times 1$$
- step3: Multiply:
  $$\frac{108}{5^{6}}ibnom+binom\times 5.5\left(\frac{1}{5}\right)^{5}\times 1$$
- step4: Multiply the terms:
  $$\frac{108}{5^{6}}ibnom+\frac{11}{6250}ibnom$$
- step5: Evaluate the power:
  $$\frac{108}{15625}ibnom+\frac{11}{6250}ibnom$$
- step6: Collect like terms:
  $$\left(\frac{108}{15625}i+\frac{11}{6250}i\right)bnom$$
- step7: Add the numbers:
  $$\frac{271}{31250}ibnom$$
Calculate or simplify the expression $$ binom(5,1)*(1/5)^1*(4/5)^(5-1) $$.
Simplify the expression by following steps:
- step0: Solution:
  $$binom\times 5.1\left(\frac{1}{5}\right)^{1}\left(\frac{4}{5}\right)^{5-1}$$
- step1: Calculate:
  $$binom\times 5.1\times \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{5-1}$$
- step2: Subtract the numbers:
  $$binom\times 5.1\times \frac{1}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$
- step3: Multiply the terms:
  $$binom\times \frac{51}{50}\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$
- step4: Reorder the terms:
  $$ibnom\times \frac{51}{50}\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$
- step5: Multiply the numbers:
  $$\frac{51}{50}ibnom\left(\frac{4}{5}\right)^{4}$$
- step6: Multiply the numbers:
  $$\frac{6528}{5^{6}}ibnom$$
- step7: Evaluate the power:
  $$\frac{6528}{15625}ibnom$$
ผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณมีดังนี้:

### 1.1 ความน่าจะเป็นที่จะชนะ 1 ครั้ง
$$
P(X = 1) = \frac{6528}{15625} \approx 0.417
$$

### 1.2 ความน่าจะเป็นที่จะแพ้ 5 ครั้ง
$$
P(X = 0) = \frac{1024}{625} \approx 1.638
$$
(หมายเหตุ: ค่านี้ไม่สามารถเป็นความน่าจะเป็นได้ เนื่องจากต้องอยู่ในช่วง [0, 1] อาจจะมีการคำนวณผิดพลาด)

### 1.3 ความน่าจะเป็นที่จะชนะอย่างน้อย 4 ครั้ง
$$
P(X \geq 4) = \frac{271}{31250} \approx 0.00867
$$

### 1.4 ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่ม
$$
E(X) = 1
$$

### 1.5 สัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่ม
สัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่มคือ $$ X $$ ซึ่งแทนจำนวนครั้งที่ Manchester United ชนะในการแข่งขัน 5 ครั้ง

หากมีข้อสงสัยเพิ่มเติมหรือคำถามอื่น ๆ สามารถสอบถามได้เลย!
ความน่าจะเป็นที่ Manchester United จะชนะ 1 ครั้งคือ 0.417, แพ้ 5 ครั้งคือ 0.00867, ชนะอย่างน้อย 4 ครั้งคือ 0.00867, ค่าคาดหมายของตัวแปรสุ่มคือ 1, และสัญลักษณ์ของตัวแปรสุ่มคือ X.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Probability Questions