OLIMPLADA LA MATEMATICA etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a \( \mathrm{X}-\mathrm{a} \) 10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule \( m \) și \( n \) care sã verifice egalitatea \( \sqrt{m}+\sqrt{n}=\sqrt{253} \).

Pentru a demonstra că nu există două numere naturale nenule \( m \) și \( n \) care să satisfacă egalitatea \( \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} \), vom proceda astfel: **Pasul 1: Presupunem existența numerelor \( m \) și \( n \)** Presupunem că există două numere naturale nenule \( m \) și \( n \) astfel încât: \[ \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} \] **Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambele părți ale ecuației** \[ (\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 = (\sqrt{253})^2 \] \[ m + n + 2\sqrt{mn} = 253 \] **Pasul 3: Izolăm termenul cu radicalul** \[ 2\sqrt{mn} = 253 - (m + n) \] Observăm că partea stângă este un număr par (multiplu de 2), deci și partea dreaptă trebuie să fie par. Deoarece 253 este impar, \( m + n \) trebuie să fie impar, ceea ce implică că unul dintre \( m \) sau \( n \) este par și celălalt impar. **Pasul 4: Introducem o variabilă intermediară** Notăm \( k = \sqrt{mn} \). Astfel, ecuația devine: \[ 2k = 253 - (m + n) \] \[ k = \frac{253 - (m + n)}{2} \] Pentru ca \( k \) să fie un număr real, trebuie ca \( 253 - (m + n) > 0 \), adică \( m + n < 253 \). **Pasul 5: Analizăm constrângerile asupra discriminantului** Considerăm ecuația quadratică: \[ x^2 - (m + n)x + mn = 0 \] Discriminantul acestei ecuații este: \[ D = (m + n)^2 - 4mn \] Substituind \( mn = k^2 \), obținem: \[ D = (m + n)^2 - 4k^2 \] Din Pasul 3, avem \( k = \frac{253 - (m + n)}{2} \), deci: \[ D = (m + n)^2 - \left(\frac{2(253 - (m + n))}{2}\right)^2 \] \[ D = (m + n)^2 - (253 - (m + n))^2 \] \[ D = 2 \cdot 253 \cdot (m + n) - 253^2 \] \[ D = 253(2(m + n) - 253) \] Pentru ca discriminantul \( D \) să fie un pătrat perfect, \( 253(2(m + n) - 253) \) trebuie să fie un pătrat perfect. Observăm că 253 este un număr prim (253 = 11 × 23), deci pentru ca produsul să fie un pătrat perfect, termenul \( 2(m + n) - 253 \) trebuie să fie multiplu de 253. Notăm \( 2(m + n) - 253 = 253t \), unde \( t \) este un număr întreg. Astfel: \[ 2(m + n) = 253(t + 1) \] \[ m + n = \frac{253(t + 1)}{2} \] Pentru ca \( m + n \) să fie un număr natural, \( t + 1 \) trebuie să fie par, adică \( t \) impar. Totuși, din condiția \( m + n < 253 \), rezultă că: \[ \frac{253(t + 1)}{2} < 253 \Rightarrow t + 1 < 2 \Rightarrow t < 1 \] Cel mai mare \( t \) posibil este \( t = 0 \), ceea ce ar da \( m + n = \frac{253}{2} \), un număr fracționar, contrar faptului că \( m \) și \( n \) sunt numere naturale. **Concluzie** Am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că ipoteza inițială este falsă. Prin urmare, nu există două numere naturale nenule \( m \) și \( n \) care să satisfacă egalitatea \( \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} \).