4. Calcula solo las soluciones principales de las siguientes ecuaciones trigonométricas. a) \( (\cos \theta-1)(\operatorname{sen} \theta+1)=0 \) b) \( (\operatorname{sen} t-1) \cdot \cos t=0 \) c) \( (2 \operatorname{sen} \theta+1)(2 \cos \theta+3)=0 \) d) \( \cos x+1=2 \sin ^{2} x \) e) \( 2 \cos ^{2} x+\operatorname{sen} x=1 \) f) \( 2 \cos ^{2} t+3 \cos t+1=0 \) g) \( 1-\operatorname{sen} t=\sqrt{3} \cos t \) h) \( \sqrt{3} \operatorname{sen} t+\cos t=1 \)

Se pide hallar, en cada caso, las soluciones principales (generalmente dentro del intervalo [0, 2π)) de las ecuaciones trigonométricas. ───────────────────────────── a) (cos θ – 1)(sen θ + 1) = 0  Esta ecuación se satisface si:   1) cos θ – 1 = 0 ⟹ cos θ = 1    • En [0, 2π), cos θ = 1 ⟹ θ = 0   2) sen θ + 1 = 0 ⟹ sen θ = –1    • En [0, 2π), sen θ = –1 ⟹ θ = 3π/2  Por lo tanto, las soluciones principales son:   θ = 0 y 3π/2 ───────────────────────────── b) (sen t – 1) · cos t = 0  La ecuación se anula cuando:   1) sen t – 1 = 0 ⟹ sen t = 1    • En [0, 2π), sen t = 1 ⟹ t = π/2   2) cos t = 0    • En [0, 2π), cos t = 0 ⟹ t = π/2 y t = 3π/2  Observa que t = π/2 aparece en ambas soluciones; en conjunto, las soluciones son:   t = π/2 y 3π/2 ───────────────────────────── c) (2 sen θ + 1)(2 cos θ + 3) = 0  Dividimos en dos casos:   1) 2 sen θ + 1 = 0 ⟹ sen θ = –1/2    • En [0, 2π), sen θ = –1/2 ⟹ θ = 7π/6 y 11π/6   2) 2 cos θ + 3 = 0 ⟹ cos θ = –3/2    • Como –3/2 se encuentra fuera del rango [–1, 1], no hay solución.  Por lo tanto, las soluciones principales son:   θ = 7π/6 y 11π/6 ───────────────────────────── d) cos x + 1 = 2 sen² x  Procedemos a expresar la ecuación en función de coseno. Usamos la identidad:   sen² x = 1 – cos² x  Reemplazamos:   cos x + 1 = 2(1 – cos² x)    ⟹ cos x + 1 = 2 – 2 cos² x  Reacomodamos:   2 cos² x + cos x + 1 – 2 = 0    ⟹ 2 cos² x + cos x – 1 = 0  Esta es una ecuación cuadrática en cos x.  Sea u = cos x:   2u² + u – 1 = 0  Calculamos el discriminante:   Δ = 1² – 4·2·(–1) = 1 + 8 = 9  Se tiene:   u = [–1 ± 3] / (2·2)   • u = (2)⁄4 = 1/2   • u = (–4)⁄4 = –1  Ahora, resolvemos:   • cos x = 1/2 ⟹ x = π/3, 5π/3   • cos x = –1 ⟹ x = π  Por lo tanto, las soluciones principales son:   x = π/3, π y 5π/3 ───────────────────────────── e) 2 cos² x + sen x = 1  Procedemos a escribir todo en función de sen x usando la identidad cos² x = 1 – sen² x:   2(1 – sen² x) + sen x = 1   ⟹ 2 – 2 sen² x + sen x – 1 = 0   ⟹ –2 sen² x + sen x + 1 = 0  Multiplicamos por –1:   2 sen² x – sen x – 1 = 0  Sea u = sen x, se tiene la ecuación cuadrática:   2u² – u – 1 = 0  El discriminante es:   Δ = (–1)² – 4·2·(–1) = 1 + 8 = 9  Por lo tanto:   u = [1 ± 3] / (2·2)   • u = (4)/4 = 1   • u = (–2)/4 = –1/2  Ahora, resolvemos:   • sen x = 1 ⟹ x = π/2   • sen x = –1/2 ⟹ x = 7π/6 y 11π/6  Por lo tanto, las soluciones principales son:   x = π/2, 7π/6 y 11π/6 ───────────────────────────── f) 2 cos² t + 3 cos t + 1 = 0  Sea u = cos t, la ecuación se convierte en:   2u² + 3u + 1 = 0  Factorizamos:   (2u + 1)(u + 1) = 0  De donde:   1) 2u + 1 = 0 ⟹ u = –1/2   2) u + 1 = 0 ⟹ u = –1  Ahora, determinamos t:   • cos t = –1/2 ⟹ en [0, 2π) t = 2π/3 y 4π/3   • cos t = –1 ⟹ t = π  Por lo tanto, las soluciones principales son:   t = 2π/3, π y 4π/3 ───────────────────────────── g) 1 – sen t = √3 cos t  Podemos reorganizar la ecuación para agrupar sen y cos:   1 = sen t + √3 cos t  Observa que la combinación sen t + √3 cos t se puede escribir en forma de sinusoide.  Calculemos la amplitud:   R = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = 2  Buscamos φ tal que:   sen t + √3 cos t = 2 sin(t + φ)  Comparando con la identidad:   2 sin(t + φ) = 2 [sin t cos φ + cos t sin φ]  Se debe tener:   2 cos φ = 1 ⟹ cos φ = 1/2   2 sin φ = √3 ⟹ sin φ = √3/2  De donde φ = π/3.  La ecuación se transforma en:   2 sin(t + π/3) = 1 ⟹ sin(t + π/3)