e) \( \frac{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{3} \div\left[\left(\frac{16}{9}\right)^{3}\right]^{\frac{3}{2}}}{\left(\frac{64}{27}\right)^{-3}}=\ldots \)

Para resolver la expresión dada, vamos a simplificarla paso a paso. La expresión es: \[ \frac{\left[\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{3} \div\left[\left(\frac{16}{9}\right)^{3}\right]^{\frac{3}{2}}}{\left(\frac{64}{27}\right)^{-3}} \] ### Paso 1: Simplificar el numerador Primero, simplificamos el numerador: \[ \left[\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3}}\right]^{3} \] Utilizando la propiedad de las potencias \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\): \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{2}{3} \cdot 3} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{16}{9} \] Ahora, simplificamos la segunda parte del numerador: \[ \left[\left(\frac{16}{9}\right)^{3}\right]^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{16}{9}\right)^{3 \cdot \frac{3}{2}} = \left(\frac{16}{9}\right)^{\frac{9}{2}} = \frac{16^{\frac{9}{2}}}{9^{\frac{9}{2}}} \] Calculamos \(16^{\frac{9}{2}}\) y \(9^{\frac{9}{2}}\): \[ 16^{\frac{9}{2}} = (4^2)^{\frac{9}{2}} = 4^9 = 262144 \] \[ 9^{\frac{9}{2}} = (3^2)^{\frac{9}{2}} = 3^9 = 19683 \] Por lo tanto, el numerador se convierte en: \[ \frac{16}{9} \div \frac{262144}{19683} = \frac{16}{9} \cdot \frac{19683}{262144} \] ### Paso 2: Simplificar el denominador Ahora, simplificamos el denominador: \[ \left(\frac{64}{27}\right)^{-3} = \left(\frac{27}{64}\right)^{3} = \frac{27^3}{64^3} \] Calculamos \(27^3\) y \(64^3\): \[ 27^3 = 19683 \] \[ 64^3 = 262144 \] ### Paso 3: Combinar todo Ahora, combinamos el numerador y el denominador: \[ \frac{\frac{16 \cdot 19683}{9 \cdot 262144}}{\frac{19683}{262144}} = \frac{16 \cdot 19683}{9 \cdot 262144} \cdot \frac{262144}{19683} \] Los términos \(19683\) y \(262144\) se cancelan: \[ = \frac{16}{9} \] ### Resultado final Por lo tanto, la expresión simplificada es: \[ \frac{16}{9} \]