RETO N 11 Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una torre de 100 m de altura. Calcular el tiempo que emplea el proyectil en llegar al piso, si fue lanzado con una rapidez inicial de \( 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right) \) \( \begin{array}{lll}\text { a) } 10 \mathrm{~s} & \text { b) } 9 \mathrm{~s} & \text { c) } 8 \mathrm{~s} \\ \text { d) } 12 \mathrm{~s} & \text { e) } 14 \mathrm{~s} & \end{array} \)

Para resolver el problema, podemos utilizar la ecuación del movimiento uniformemente acelerado en la dirección vertical. La fórmula que corresponde es: \[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \] Donde: - \( h \) es la altura desde donde se lanza el proyectil (100 m). - \( v_0 \) es la velocidad inicial (40 m/s). - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (10 m/s²). - \( t \) es el tiempo en segundos que queremos encontrar. Dado que el proyectil se lanza hacia arriba y posteriormente caerá, tomamos como referencia la posición inicial de la torre. Al llegar al piso, la altura será 0, por lo que la ecuación se transforma en: \[ 0 = 100 + 40t - 5t^2 \] Reorganizando, se obtiene: \[ 5t^2 - 40t - 100 = 0 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): - \( a = 5 \) - \( b = -40 \) - \( c = -100 \) Calculamos el discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-100) = 1600 + 2000 = 3600 \] Sustituyendo en la fórmula: \[ t = \frac{40 \pm \sqrt{3600}}{10} = \frac{40 \pm 60}{10} \] Las soluciones son: \[ t_1 = \frac{100}{10} = 10 \text{ s} \quad (t_1 > 0) \] \[ t_2 = \frac{-20}{10} = -2 \text{ s} \quad (t_2 < 0 \text{ no es válida}) \] Por lo tanto, el tiempo que emplea el proyectil en llegar al piso es \( 10 \text{ s} \). ¡Y ahí lo tienes! La respuesta correcta es (a) 10 s.