9 Encuentra tres números enteros consecutivos, sabiendo que al sumar el cuadrado del mayor con el menor se obtienen 79 unidades menos que el triple del cuadrado del segundo.

Question

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Sea $$ x $$ el primer número, de modo que los tres enteros consecutivos son  
$$
x,\quad x+1,\quad x+2.
$$

Interpretando correctamente el enunciado como que se suman los cuadrados del mayor y del menor, tenemos la ecuación

$$
(x+2)^2 + x^2 = 3(x+1)^2 - 79.
$$

Paso 1. Expandir los términos:

- $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$,
- $$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$$.

Sustituyendo, la ecuación queda

$$
(x^2 + 4x + 4) + x^2 = 3(x^2 + 2x + 1) - 79.
$$

Paso 2. Simplificar ambos lados:

Lado izquierdo:
$$
x^2 + 4x + 4 + x^2 = 2x^2 + 4x + 4.
$$

Lado derecho:
$$
3(x^2 + 2x + 1) - 79 = 3x^2 + 6x + 3 - 79 = 3x^2 + 6x - 76.
$$

Paso 3. Igualar y reacomodar la ecuación:

$$
2x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 6x - 76.
$$

Restamos $$2x^2 + 4x + 4$$ de ambos lados:

$$
0 = 3x^2 + 6x - 76 - 2x^2 - 4x - 4,
$$
$$
0 = x^2 + 2x - 80.
$$

Paso 4. Resolver la ecuación cuadrática

La ecuación es

$$
x^2 + 2x - 80 = 0.
$$

Su discriminante es

$$
\Delta = 2^2 - 4(1)(-80) = 4 + 320 = 324,
$$
$$
\sqrt{\Delta} = 18.
$$

Aplicando la fórmula general

$$
x = \frac{-2 \pm 18}{2},
$$

tenemos dos soluciones:

- $$\displaystyle x = \frac{-2 + 18}{2} = \frac{16}{2} = 8$$,
- $$\displaystyle x = \frac{-2 - 18}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$.

Paso 5. Concluir los valores de los tres números

Si $$x = 8$$, los números son:
$$
8,\quad 9,\quad 10.
$$

Si $$x = -10$$, los números son:
$$
-10,\quad -9,\quad -8.
$$

Ambos conjuntos verifican la condición, ya que se cumple que

$$
\text{cuadrado del mayor} + \text{cuadrado del menor} = 3 \times (\text{cuadrado del segundo}) - 79.
$$

Por ejemplo, para $$8, 9, 10$$:

$$
10^2 + 8^2 = 100 + 64 = 164,
$$
$$
3(9^2) - 79 = 3(81) - 79 = 243 - 79 = 164.
$$

Por lo tanto, la solución es:

$$
\boxed{8,\ 9,\ 10 \quad \text{ó} \quad -10,\ -9,\ -8.}
$$
Los tres números enteros consecutivos son 8, 9, 10 o -10, -9, -8.

9 Encuentra tres números enteros consecutivos, sabiendo que al sumar el cuadrado del mayor con el menor se obtienen 79 unidades menos que el triple del cuadrado del segundo.

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