\( \left.\left.\begin{array}{l}\text { 3. Calculen el valor promedio de la función } f \text { en el intervalo dado: } \\ \text { i) } f(x)=\text { senx en }[0, \pi] \\ \begin{array}{ll}\text { iii) } f(x)=\frac{1}{x} \text { en }[1,4] & \text { ii) } f(x)=\sqrt{x} \text { en }[4,9]\end{array} \\ \text { 4. } f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { si }-2 \leq x<0 \\ -1 & \text { si } 0

Ask by Turnbull Vaughan. in Argentina

Mar 10,2025

Para resolver el problema, vamos a calcular el valor promedio de las funciones dadas en los intervalos especificados. El valor promedio de una función \( f \) en el intervalo \([a, b]\) se calcula utilizando la siguiente fórmula: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] ### 3. Cálculo del valor promedio #### i) \( f(x) = \sin x \) en \([0, \pi]\) 1. **Identificamos \( a \) y \( b \)**: - \( a = 0 \) - \( b = \pi \) 2. **Calculamos la integral**: \[ \int_0^\pi \sin x \, dx \] 3. **Calculamos el valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{\pi - 0} \int_0^\pi \sin x \, dx \] #### ii) \( f(x) = \sqrt{x} \) en \([4, 9]\) 1. **Identificamos \( a \) y \( b \)**: - \( a = 4 \) - \( b = 9 \) 2. **Calculamos la integral**: \[ \int_4^9 \sqrt{x} \, dx \] 3. **Calculamos el valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{9 - 4} \int_4^9 \sqrt{x} \, dx \] #### iii) \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \([1, 4]\) 1. **Identificamos \( a \) y \( b \)**: - \( a = 1 \) - \( b = 4 \) 2. **Calculamos la integral**: \[ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx \] 3. **Calculamos el valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{4 - 1} \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx \] Ahora, procederemos a calcular las integrales para cada caso. ### Cálculos de las integrales Vamos a calcular las integrales de cada función en sus respectivos intervalos. 1. Para \( f(x) = \sin x \) en \([0, \pi]\): \[ \int_0^\pi \sin x \, dx \] 2. Para \( f(x) = \sqrt{x} \) en \([4, 9]\): \[ \int_4^9 \sqrt{x} \, dx \] 3. Para \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \([1, 4]\): \[ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx \] Procederé a calcular estas integrales. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{0}^{\pi } \sin\left(x\right) dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \sin\left(x\right) dx\) - step2: Evaluate the integral: \(-\cos\left(x\right)\) - step3: Return the limits: \(\left(-\cos\left(x\right)\right)\bigg |_{0}^{\pi }\) - step4: Calculate the value: \(2\) Calculate the integral \( \int_4^{9} \sqrt{x} \, dx \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{4}^{9} \sqrt{x} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \sqrt{x} dx\) - step2: Evaluate the integral: \(\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\) - step3: Add the numbers: \(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{1}{2}+1}\) - step4: Add the numbers: \(\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\) - step5: Multiply by the reciprocal: \(x^{\frac{3}{2}}\times \frac{2}{3}\) - step6: Reorder the terms: \(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\) - step7: Return the limits: \(\left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\right)\bigg |_{4}^{9}\) - step8: Calculate the value: \(\frac{38}{3}\) Calculate the integral \( \int_1^{4} \frac{1}{x} \, dx \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{4} \frac{1}{x} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int \frac{1}{x} dx\) - step2: Evaluate the integral: \(\ln{\left(\left|x\right|\right)}\) - step3: Return the limits: \(\left(\ln{\left(\left|x\right|\right)}\right)\bigg |_{1}^{4}\) - step4: Calculate the value: \(\ln{\left(4\right)}\) - step5: Rewrite in exponential form: \(\ln{\left(2^{2}\right)}\) - step6: Simplify the expression: \(2\ln{\left(2\right)}\) Ahora que hemos calculado las integrales, procedemos a determinar el valor promedio de cada función en sus respectivos intervalos. ### Resultados de las integrales 1. **Para \( f(x) = \sin x \) en \([0, \pi]\)**: \[ \int_0^\pi \sin x \, dx = 2 \] **Cálculo del valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{\pi - 0} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \] 2. **Para \( f(x) = \sqrt{x} \) en \([4, 9]\)**: \[ \int_4^9 \sqrt{x} \, dx = \frac{38}{3} \quad \text{(o } 12\frac{2}{3} \text{ o } 12.6\text{)} \] **Cálculo del valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{9 - 4} \cdot \frac{38}{3} = \frac{38}{15} \] 3. **Para \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \([1, 4]\)**: \[ \int_1^4 \frac{1}{x} \, dx = 2\ln(2) \] **Cálculo del valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{4 - 1} \cdot 2\ln(2) = \frac{2\ln(2)}{3} \] ### Resumen de los valores promedios - **i)** Para \( f(x) = \sin x \) en \([0, \pi]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{2}{\pi} \] - **ii)** Para \( f(x) = \sqrt{x} \) en \([4, 9]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{38}{15} \] - **iii)** Para \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \([1, 4]\): \[ \text{Valor promedio} = \frac{2\ln(2)}{3} \] ### 4. Valor medio para integrales Para la función definida por partes: \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ -1 & \text{si } 0 < x \leq 2 \end{cases} \] Calculamos el valor promedio en el intervalo \([-2, 2]\): 1. **Calculamos la integral**: \[ \int_{-2}^{0} 1 \, dx + \int_{0}^{2} (-1) \, dx \] 2. **Calculamos el valor promedio**: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{2 - (-2)} \left( \int_{-2}^{0} 1 \, dx + \int_{0}^{2} (-1) \, dx \right) \] Procederé a calcular estas integrales. Evaluate the integral by following steps: - step0: Solution: \(\int_{0}^{2} -1 dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int -1 dx\) - step2: Evaluate the integral: \(-x\) - step3: Return the limits: \(\left(-x\right)\bigg |_{0}^{2}\) - step4: Calculate the value: \(-2\) Calculate the integral \( \int_{-2}^{0} 1 \, dx \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Solution: \(\int_{-2}^{0} 1 dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int 1 dx\) - step2: Evaluate the integral: \(x\) - step3: Return the limits: \(\left(x\right)\bigg |_{-2}^{0}\) - step4: Calculate the value: \(2\) Ahora que hemos calculado las integrales para la función definida por partes, procedemos a determinar el valor promedio. ### Cálculos de las integrales 1. **Para \( f(x) = 1 \) en \([-2, 0]\)**: \[ \int_{-2}^{0} 1 \, dx = 2 \] 2. **Para \( f(x) = -1 \) en \([0, 2]\)**: \[ \int_{0}^{2} -1 \, dx = -2 \] ### Cálculo del valor promedio Sumamos las integrales y calculamos el valor promedio: \[ \text{Integral total} = 2 + (-2) = 0 \] El intervalo es: \[ \text{Longitud del intervalo} = 2 - (-2) = 4 \] Por lo tanto, el valor promedio es: \[ \text{Valor promedio} = \frac{1}{4} \cdot 0 = 0 \] ### Resumen de los resultados - **Valores promedios de las funciones**: - **i)** \( f(x) = \sin x \) en \([0, \pi]\): \( \frac{2}{\pi} \) - **ii)** \( f(x) = \sqrt{x} \) en \([4, 9]\): \( \frac{38}{15} \) - **iii)** \( f(x) = \frac{1}{x} \) en \([1, 4]\): \( \frac{2\ln(2)}{3} \) - **Para la función definida por partes**: \( 0 \) Si necesitas más información o cálculos adicionales, no dudes en preguntar.