Un objeto se mueve según la trayectoria $$ \vec{r}(t)=\left(3 t^{2}\right) i+(4 t) j+\left(t^{3}-t\right) k $$, donde $$ t $$ está en segundos. ¿Cuál es la velocidad instantánea del objeto en $$ t=1 $$ segundo? $$ 6 i+3 j+1 k $$ $$ 6 i+4 j+2 k $$ $$ 6 i+4 j+0 k $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para encontrar la velocidad instantánea del objeto, necesitamos calcular la derivada de la posición

con respecto al tiempo

:

Calculando cada componente:

Componente :
Componente :
Componente :

Entonces, la velocidad

es:

Ahora, evaluamos en

:

Por lo tanto, la velocidad instantánea del objeto en

segundo es

.

¡La respuesta correcta es

!

$$
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}
$$

Dada la trayectoria:

$$
\vec{r}(t) = (3t^2) \, \mathbf{i} + (4t) \, \mathbf{j} + (t^3 - t) \, \mathbf{k}
$$

Procederemos a calcular la derivada de cada componente:

1. Componente en $$ \mathbf{i} $$:
   $$
   \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t
   $$

2. Componente en $$ \mathbf{j} $$:
   $$
   \frac{d}{dt}(4t) = 4
   $$

3. Componente en $$ \mathbf{k} $$:
   $$
   \frac{d}{dt}(t^3 - t) = 3t^2 - 1
   $$

Por lo tanto, la velocidad en función del tiempo es:

$$
\vec{v}(t) = (6t) \, \mathbf{i} + (4) \, \mathbf{j} + (3t^2 - 1) \, \mathbf{k}
$$

Ahora, evaluamos la velocidad en $$ t = 1 $$:

1. Para la componente en $$ \mathbf{i} $$:
   $$
   6(1) = 6
   $$

2. Para la componente en $$ \mathbf{j} $$:
   $$
   4 = 4
   $$

3. Para la componente en $$ \mathbf{k} $$:
   $$
   3(1^2) - 1 = 3 - 1 = 2
   $$

Por lo tanto, la velocidad instantánea del objeto en $$ t = 1 $$ segundo es:

$$
\vec{v}(1) = 6 \, \mathbf{i} + 4 \, \mathbf{j} + 2 \, \mathbf{k}
$$

La respuesta correcta es:

$$
\boxed{6 \, \mathbf{i} + 4 \, \mathbf{j} + 2 \, \mathbf{k}}
$$
La velocidad instantánea del objeto en $$ t = 1 $$ segundo es $$ 6 \, \mathbf{i} + 4 \, \mathbf{j} + 2 \, \mathbf{k} $$.

Un objeto se mueve según la trayectoria , donde está en segundos. ¿Cuál es la velocidad
instantánea del objeto en segundo?

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