Un objeto se mueve según la trayectoria \( \vec{r}(t)=\left(3 t^{2}\right) i+(4 t) j+\left(t^{3}-t\right) k \), donde t está en segundos. ¿Cuál es la velocidad instantánea del objeto en \( t=1 \) segundo?

1. La función de posición es \[ \vec{r}(t)=\left(3t^2\right)i+(4t)j+\left(t^3-t\right)k. \] 2. La velocidad instantánea es la derivada de la función de posición con respecto a \( t \). Es decir, \[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt}. \] 3. Derivamos componente a componente: - Para la componente \( x \): \[ x(t)=3t^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{dx}{dt}=6t. \] - Para la componente \( y \): \[ y(t)=4t \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt}=4. \] - Para la componente \( z \): \[ z(t)=t^3-t \quad \Rightarrow \quad \frac{dz}{dt}=3t^2-1. \] 4. Por lo tanto, la velocidad en función del tiempo es: \[ \vec{v}(t)=\left(6t\right)i+4j+\left(3t^2-1\right)k. \] 5. Evaluamos la velocidad en \( t=1 \) segundo: - Componente \( x \) en \( t=1 \): \[ 6(1)=6. \] - Componente \( y \) en \( t=1 \): \[ 4. \] - Componente \( z \) en \( t=1 \): \[ 3(1)^2-1=3-1=2. \] Por lo tanto: \[ \vec{v}(1)=6i+4j+2k. \] La velocidad instantánea del objeto en \( t=1 \) segundo es \[ \boxed{6i+4j+2k}. \]