\( y ^ { \prime } + 1 = \frac { ( x + y ) ^ { m } } { ( x + y ) ^ { n } + ( x + y ) ^ { p } } \)

Consideremos la ecuación diferencial   y′ + 1 = (x + y)^m / [(x + y)^n + (x + y)^p]. Una estrategia útil en este tipo de ecuaciones es realizar la sustitución   u = x + y. Observa que al derivar con respecto a x se tiene   du/dx = d(x + y)/dx = 1 + y′. Reemplazando 1 + y′ por du/dx en la ecuación original, se obtiene   du/dx = (x + y)^m / [(x + y)^n + (x + y)^p]. Pero puesto que u = x + y, la ecuación se puede escribir en función de u:   du/dx = u^m / (u^n + u^p). Podemos simplificar la expresión factorizando u^n en el denominador:   u^n + u^p = u^n (1 + u^(p – n)), lo que conduce a   du/dx = u^m / [u^n (1 + u^(p – n))] = u^(m – n) / [1 + u^(p – n)]. La ecuación ahora toma la forma   du/dx = u^(m – n) / [1 + u^(p – n)]. Esta ecuación es separable. Para separar las variables se escribe   [1 + u^(p – n)] / u^(m – n) du = dx. Es decir, se tiene   ∫ [1 + u^(p – n)] / u^(m – n) du = ∫ dx. La forma exacta de la solución dependerá de los valores de los exponentes m, n y p. En concreto, la integral en el lado izquierdo se puede descomponer en dos partes:   ∫ u^(–(m – n)) du + ∫ u^(p – n – (m – n)) du = ∫ u^(–(m – n)) du + ∫ u^(p – m) du. Cada uno de estos términos se integra de manera convencional (siempre que los exponentes no hagan que se trate de una integral logarítmica, es decir, que el exponente sea –1). Así, en términos generales, la solución implícita se obtiene mediante la integración:   ∫ u^(–(m – n)) du + ∫ u^(p – m) du = x + C, donde C es la constante de integración y recordamos que u = x + y. Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial se expresa (de forma implícita) como   F(u) = x + C  con  u = x + y. La forma final de F(u) dependerá de los valores concretos de m, n y p, ya que la integración puede dar lugar a funciones algebraicas o logarítmicas según los exponentes involucrados. Esta es la manera general de abordar y transformar la ecuación diferencial presentada usando la sustitución u = x + y.