Cамостоятельная работа 3.3 Квадратные неравенства

**Решение квадратных неравенств:** 1. **Общий вид неравенства:** \[ ax^2 + bx + c < 0 \quad (\text{или} \quad \leq, \ >, \ \geq) \] где \(a\), \(b\), \(c\) — коэффициенты, \(a \neq 0\). 2. **Приведение к каноническому виду:** Убедитесь, что неравенство записано в виде \(ax^2 + bx + c < 0\). Если нужно, перенесите все слагаемые в одну сторону. 3. **Нахождение корней уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):** - Вычислите дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). - Если \(D > 0\), два различных корня: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] - Если \(D = 0\), один корень: \[ x_0 = \frac{-b}{2a} \] - Если \(D < 0\), нет действительных корней. 4. **Анализ знака многочлена:** - **Парабола открыта вверх (\(a > 0\)):** - \(ax^2 + bx + c > 0\) при \(x < x_1\) и \(x > x_2\). - \(ax^2 + bx + c < 0\) при \(x_1 < x < x_2\). - **Парабола открыта вниз (\(a < 0\)):** - \(ax^2 + bx + c < 0\) при \(x < x_1\) и \(x > x_2\). - \(ax^2 + bx + c > 0\) при \(x_1 < x < x_2\). 5. **Выбор промежутка:** - Для \(ax^2 + bx + c < 0\): - Если \(D > 0\) и \(a > 0\): \(x \in (x_1, x_2)\). - Если \(D > 0\) и \(a < 0\): \(x \in (-\infty, x_1) \cup (x_2, \infty)\). - Если \(D = 0\) и \(a > 0\): решений нет. - Если \(D = 0\) и \(a < 0\): \(x \in (-\infty, x_0) \cup (x_0, \infty)\). - Если \(D < 0\) и \(a > 0\): решений нет. - Если \(D < 0\) и \(a < 0\): \(x \in (-\infty, \infty)\). 6. **Пример решения:** Решим неравенство \(2x^2 - 3x - 2 < 0\). - \(D = 9 + 16 = 25\). - Корни: \(x_1 = -\frac{1}{2}\), \(x_2 = 2\). - Так как \(a = 2 > 0\), неравенство выполняется при \(x \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right)\). 7. **Рекомендации:** - Приводите неравенство к стандартной форме. - Находите корни уравнения. - Определяйте знак многочлена в зависимости от \(a\). - Выбирайте правильный промежуток в зависимости от знака неравенства. Таким образом, для решения любого квадратного неравенства следует последовательно выполнить эти шаги.