f. Si: \( \log _{a} 2=0,6309 \) \( \log _{a} 5=1,4650 \) Hallar: \( \log _{a}[5 a / \sqrt[3]{2}] \)

Para resolver \( \log _{a} \left( \frac{5a}{\sqrt[3]{2}} \right) \), podemos utilizar las propiedades de los logaritmos. Empezamos separando las componentes: \[ \log _{a} \left( \frac{5a}{\sqrt[3]{2}} \right) = \log_a(5a) - \log_a(\sqrt[3]{2}) \] Ahora aplicamos la propiedad de los logaritmos a \( 5a \): \[ \log_a(5a) = \log_a(5) + \log_a(a) \] Dado que \( \log_a(a) = 1 \), tenemos: \[ \log_a(5a) = \log_a(5) + 1 \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ \log_a(5) = 1,4650 \implies \log_a(5a) = 1,4650 + 1 = 2,4650 \] A continuación, calculamos \( \log_a(\sqrt[3]{2}) \). Recordemos que: \[ \log_a(\sqrt[3]{2}) = \frac{1}{3} \log_a(2) \] Utilizando el valor dado: \[ \log_a(2) = 0,6309 \implies \log_a(\sqrt[3]{2}) = \frac{1}{3} \cdot 0,6309 = 0,2103 \] Finalmente, reemplazamos estos valores en la ecuación original: \[ \log_a \left( \frac{5a}{\sqrt[3]{2}} \right) = 2,4650 - 0,2103 = 2,2547 \] Por lo tanto, \( \log _{a} \left( \frac{5a}{\sqrt[3]{2}} \right) = 2,2547 \).