En cada uno de los siguientes casos, construye un triángulo rectángulo \( A B C \) y calcula la razón trigonométrica que se indica (en cada caso \( m \angle C=90^{\circ} \) ). a. \( \operatorname{sen} A=\frac{\sqrt{2}}{5} \); calcula tan \( B \). b. \( \cos B=\frac{1}{5} \); calcula cot \( A \). c. \( \csc A=1 \frac{1}{3} \); calcula \( \sec B \). d. \( \cot B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \); calcula sen \( A \).

### a. Dado que \(\sin A=\frac{\sqrt{2}}{5}\) y \(\angle C=90^{\circ}\) En un triángulo rectángulo, los ángulos \(A\) y \(B\) son complementarios, es decir, \(A+B=90^{\circ}\). Además, se cumple que: \[ \sin A=\cos B \quad \text{y} \quad \cos A=\sin B. \] 1. Calcular \(\cos A\) usando la identidad pitagórica: \[ \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{2}{25}}=\sqrt{\frac{23}{25}}=\frac{\sqrt{23}}{5}. \] 2. Luego, dado que \(\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}\) y observando que \(\sin B=\cos A\) y \(\cos B=\sin A\): \[ \tan B=\frac{\cos A}{\sin A} =\frac{\frac{\sqrt{23}}{5}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}=\frac{\sqrt{23}}{\sqrt{2}} =\sqrt{\frac{23}{2}} =\frac{\sqrt{46}}{2}. \] Respuesta a: \[ \boxed{\tan B=\frac{\sqrt{46}}{2}}. \] --- ### b. Dado que \(\cos B=\frac{1}{5}\) Recordando que \(A+B=90^{\circ}\), se tiene: \[ \cos B=\sin A. \] Por lo tanto: \[ \sin A=\frac{1}{5}. \] Para hallar \(\cot A\), usamos: \[ \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}. \] 1. Calcular \(\cos A\) a partir de \(\sin A\): \[ \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} =\sqrt{1-\frac{1}{25}} =\sqrt{\frac{24}{25}} =\frac{2\sqrt{6}}{5}. \] 2. Entonces: \[ \cot A=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}. \] Respuesta b: \[ \boxed{\cot A=2\sqrt{6}}. \] --- ### c. Dado que \(\csc A=1\frac{1}{3}\) Primero, convirtamos el número mixto a fracción impropia: \[ \csc A=\frac{4}{3}. \] Recuerda que: \[ \csc A=\frac{1}{\sin A} \quad \Longrightarrow \quad \sin A=\frac{1}{\csc A}=\frac{3}{4}. \] Observamos que, en triángulo rectángulo, los ángulos \(A\) y \(B\) son complementarios, por lo que: \[ \cos B=\sin A=\frac{3}{4}. \] La razón que se pide es: \[ \sec B=\frac{1}{\cos B}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}. \] Respuesta c: \[ \boxed{\sec B=\frac{4}{3}}. \] --- ### d. Dado que \(\cot B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) Recordemos que en cualquier ángulo: \[ \cot B=\frac{\cos B}{\sin B}. \] Podemos plantear: \[ \cos B=\sqrt{2}\,k \quad \text{y} \quad \sin B=\sqrt{3}\,k, \] donde \(k>0\) es una constante. Usamos la identidad pitagórica: \[ \cos^2B+\sin^2B=1 \quad \Longrightarrow \quad 2k^2+3k^2=5k^2=1, \] de donde: \[ k=\frac{1}{\sqrt{5}}. \] Entonces: \[ \cos B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}. \] Pero puesto que los ángulos \(A\) y \(B\) son complementarios: \[ \sin A=\cos B=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}. \] Respuesta d: \[ \boxed{\sin A=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}}. \]