Calcular el punto de inflexión de la función siguiente: \[ 3 y=x^{3}-3 x^{2}-9 x+11 \]

Dado que la función es \[ 3y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 11, \] primero se despeja \(y\) dividiendo ambos lados entre 3: \[ y = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3x + \frac{11}{3}. \] **Paso 1: Calcular la segunda derivada** La primera derivada es: \[ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{3} \right) - \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}\left( \frac{11}{3} \right). \] Se tiene que: \[ \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{3}}{3} \right) = x^{2},\quad \frac{d}{dx}(x^{2}) = 2x,\quad \frac{d}{dx}(3x) = 3,\quad \frac{d}{dx}\left( \frac{11}{3} \right) = 0. \] Entonces, \[ y' = x^{2} - 2x - 3. \] Ahora, la segunda derivada es: \[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(x^{2} - 2x - 3) = 2x - 2. \] **Paso 2: Encontrar el punto de inflexión** El punto de inflexión se ubica donde la segunda derivada se anula, es decir, se resuelve: \[ 2x - 2 = 0. \] Despejando \(x\): \[ 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 1. \] **Paso 3: Calcular la coordenada \(y\) correspondiente** Se sustituye \(x=1\) en la función original ya despejada para \(y\): \[ y = \frac{1^{3}}{3} - (1)^{2} - 3(1) + \frac{11}{3}. \] Se tiene que: \[ y = \frac{1}{3} - 1 - 3 + \frac{11}{3}. \] Para combinar los términos, se expresa \( -1 - 3 = -4\) en forma de fracción: \[ y = \frac{1}{3} + \frac{11}{3} - 4 = \frac{12}{3} - 4 = 4 - 4 = 0. \] **Conclusión** El punto de inflexión de la función es \[ (1, 0). \]