23 Le plan est muni d'un repère \( (\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}) \). On donne \( \mathrm{M}(3 ; 5) ; \mathrm{A}(-2 ; 2) \) et \( \mathrm{T}(-4 ; 3) \). 1. Détermine le couple de coordonnées du point H pour que MATH soit un parallélogramme. 2. Calcule les coordonnées du centre C du parallélogramme MATH. 3. Calcule les coordonnées du point N , symétrique de A par rapport à T. 4. Soit P le point d'intersection des droites (MN) et (HT). Calcule les coordonnées du point P. Justifie ta réponse.

Nous disposons dans le plan d'un repère orthonormé dans lequel les points sont donnés par :  • M(3 ; 5)  • A(–2 ; 2)  • T(–4 ; 3) Nous allons répondre aux questions une par une. ────────────────────────────• 1. Déterminer H pour que MATH soit un parallélogramme Dans un parallélogramme, le vecteur reliant deux sommets consécutifs est égal au vecteur reliant les deux sommets opposés. Ici, en considérant l’ordre M, A, T, H, on a :   vecteur MA = A – M   vecteur TH = H – T Mais une manière usuelle est d’utiliser la relation :   H = M + (T – A) Calculons le vecteur (T – A) :   T – A = (–4 – (–2) ; 3 – 2) = (–4 + 2 ; 1) = (–2 ; 1) D'où :   H = M + (T – A) = (3 + (–2) ; 5 + 1) = (1 ; 6) Ainsi, le point H a pour coordonnées (1 ; 6). ────────────────────────────• 2. Calculer le centre C du parallélogramme MATH Le centre (ou centre de symétrie) d’un parallélogramme est le milieu de ses diagonales. On peut donc utiliser M et T (ou A et H) :   C = milieu de [M, T] = ( (3 + (–4))/2 ; (5 + 3)/2 ) = ( (–1)/2 ; 8/2 ) = (–½ ; 4) Le centre du parallélogramme MATH a donc pour coordonnées (–½ ; 4). ────────────────────────────• 3. Calculer le point N, symétrique de A par rapport à T La symétrie d’un point A par rapport à un point T se donne par la formule :   N = 2T – A Calculons :   N = (2 × (–4) – (–2) ; 2 × 3 – 2) = (–8 + 2 ; 6 – 2) = (–6 ; 4) Ainsi, le point N a pour coordonnées (–6 ; 4). ────────────────────────────• 4. Soit P l'intersection des droites (MN) et (HT). Calculer ses coordonnées Pour déterminer P, on va établir l'équation de la droite (MN) et celle de la droite (HT) puis résoudre le système. • Droite (MN) passant par M(3 ; 5) et N(–6 ; 4) :   Le coefficient directeur m se calcule :     m = (4 – 5) / (–6 – 3) = (–1) / (–9) = 1/9.   Une équation sous la forme point–pente (en passant par M) est :     y – 5 = (1/9)(x – 3)     ⇒ y = (1/9)x – (1/9)×3 + 5 = (1/9)x – 1/3 + 5.   Pour écrire le terme constant sous le même dénominateur :     5 = 15/3, d’où –1/3 + 15/3 = 14/3.   Donc l'équation de (MN) est :     y = (1/9)x + 14/3. • Droite (HT) passant par H(1 ; 6) et T(–4 ; 3) :   Calcul du coefficient directeur :     m = (3 – 6) / (–4 – 1) = (–3)/ (–5) = 3/5.   Son équation (en passant par H) est :     y – 6 = (3/5)(x – 1)     ⇒ y = (3/5)x – (3/5) + 6.   Écrivons 6 sous forme de fraction sur 5 : 6 = 30/5;     Ainsi, –3/5 + 30/5 = 27/5.   L'équation de (HT) devient :     y = (3/5)x + 27/5. • Détermination de l'intersection P des droites (MN) et (HT) Nous avons le système :   (1) y = (1/9)x + 14/3   (2) y = (3/5)x + 27/5 Pour trouver x, égalisons les deux expressions de y :   (1/9)x + 14/3 = (3/5)x + 27/5. Pour éliminer les fractions, multiplions l'équation par 45 (le PPCM de 9, 3, 5) :   45 × (1/9)x = 5x   45 × 14/3 = 14 × 15 = 210   45 × (3/5)x = 27x   45 × 27/5 = 27 × 9 = 243 Donc, l'équation devient :   5x + 210 = 27x + 243 Isolons x :   5x + 210 – 27x = 243   –22x + 210 = 243   –22x = 243 – 210   –22x = 33   x = –33/22 = –3/2 Pour trouver y, on remplace x dans l’équation (1) :   y = (1/9)(–3/2) + 14/3 = (–3)/(18) + 14/3 = (–1)/6 + 14/3. Mise au même dénominateur (6) :   (–1)/6 + (14 × 2)/6 = (–1 + 28)/6 = 27/6 = 9/2. Ainsi, le point P a pour coordonnées :   P(–3/2, 9/2). La justification repose sur la résolution du système d'équations représentant les droites (MN) et (HT). ────────────────────────────• Réponses récapitulatives : 1. H(1 ; 6). 2. C(–½ ; 4). 3. N(–6 ; 4). 4. P(–3/2 ; 9/2). Voilà, nous avons répondu à l'ensemble du problème.