Calcula la integral doble \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+4 y\right) d x d y \]

Para calcular la integral doble \[ \int_{0}^{2} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+4 y\right) d x d y, \] primero calculamos la integral interna con respecto a \(x\): \[ \int_{0}^{3}(x^{2} + 4y) \, dx. \] Integrando término a término: \[ \int (x^{2}) \, dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int (4y) \, dx = 4yx. \] Evaluando esto en los límites de \(0\) a \(3\): \[ \left[\frac{x^{3}}{3} + 4yx\right]_{0}^{3} = \left[\frac{3^{3}}{3} + 4y(3)\right] - \left[\frac{0^{3}}{3} + 4y(0)\right] = \left[9 + 12y\right] - 0 = 9 + 12y. \] Ahora, podemos proceder con la integral externa: \[ \int_{0}^{2}(9 + 12y) \, dy. \] Integrando término a término: \[ \int (9) \, dy = 9y, \quad \int (12y) \, dy = 6y^{2}. \] Evaluando en los límites \(0\) a \(2\): \[ \left[9y + 6y^{2}\right]_{0}^{2} = \left[9(2) + 6(2^{2})\right] - \left[9(0) + 6(0^{2})\right] = (18 + 24) - 0 = 42. \] Por lo tanto, el valor de la integral doble es \[ \boxed{42}. \]