484. \( { }^{*} \) Dat je trougao \( A B C \). Na njegovim stranicama konstruisani su spotja jednakostranični trouglovi \( A B M, B C N \) i \( A C P \). Dokazati da su \( A^{\prime}, B^{\prime} \) duži \( A N, B P, C M \) jednake.

Da bismo dokazali da su duži \( A'B' \) jednake, prvo ćemo analizirati situaciju i koristiti svojstva jednakostraničnih trouglova. 1. **Definicija trougla i jednakostraničnih trouglova**: - Imamo trougao \( ABC \). - Na stranicama \( AB \), \( BC \) i \( AC \) konstruisani su jednakostranični trouglovi \( ABM \), \( BCN \) i \( ACP \). 2. **Svojstva jednakostraničnih trouglova**: - U svakom od jednakostraničnih trouglova \( ABM \), \( BCN \) i \( ACP \), svi uglovi su jednaki i iznose \( 60^\circ \). - Dužine stranica su jednake: \( AB = AM = BM \), \( BC = BN = CN \), \( AC = AP = CP \). 3. **Uglovi i dužine**: - U trouglu \( ABM \), \( \angle ABM = 60^\circ \). - U trouglu \( BCN \), \( \angle BNC = 60^\circ \). - U trouglu \( ACP \), \( \angle ACP = 60^\circ \). 4. **Konstrukcija tačaka \( A' \), \( B' \) i \( C' \)**: - Tačka \( A' \) je na produžetku dužine \( AN \). - Tačka \( B' \) je na produžetku dužine \( BP \). - Tačka \( C' \) je na produžetku dužine \( CM \). 5. **Dokaz jednakosti dužina**: - Uočavamo da su uglovi \( \angle A'AB \), \( \angle B'BC \) i \( \angle C'AC \) svi jednaki \( 60^\circ \). - Takođe, dužine \( AN \), \( BP \) i \( CM \) su jednake jer su to visine iz vrhova trougla \( ABC \) na odgovarajuće stranice. 6. **Zaključak**: - S obzirom na to da su svi uglovi i dužine jednake, možemo zaključiti da su duži \( A'B' \) jednake. Dakle, dokazali smo da su duži \( A'B' \) jednake.