e) \( f(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}-9\right) \)

Para resolver el problema, primero analizaremos la función dada: \[ f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9) \] ### Paso 1: Identificar los factores Los factores de la función son: 1. \( x^2 - 1 \) 2. \( x^2 - 4 \) 3. \( x^2 - 9 \) ### Paso 2: Encontrar las raíces de cada factor Para encontrar las raíces de cada factor, igualamos cada uno a cero: 1. \( x^2 - 1 = 0 \) \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 2. \( x^2 - 4 = 0 \) \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] 3. \( x^2 - 9 = 0 \) \[ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 \] ### Paso 3: Resumir las raíces Las raíces de la función \( f(x) \) son: - \( x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 \) ### Paso 4: Análisis de la función La función \( f(x) \) es un polinomio de grado 6 (ya que cada factor es de grado 2 y hay 3 factores). Esto significa que la función puede tener hasta 6 intersecciones con el eje \( x \), que son las raíces que hemos encontrado. ### Paso 5: Comportamiento de la función Para entender el comportamiento de la función en los intervalos definidos por las raíces, podemos evaluar \( f(x) \) en algunos puntos de prueba en los intervalos: 1. \( (-\infty, -3) \) 2. \( (-3, -2) \) 3. \( (-2, -1) \) 4. \( (-1, 1) \) 5. \( (1, 2) \) 6. \( (2, 3) \) 7. \( (3, \infty) \) ### Paso 6: Evaluar en puntos de prueba Evaluemos \( f(x) \) en un punto de cada intervalo: 1. Para \( x = -4 \): \[ f(-4) = ((-4)^2 - 1)((-4)^2 - 4)((-4)^2 - 9) = (16 - 1)(16 - 4)(16 - 9) = 15 \cdot 12 \cdot 7 > 0 \] 2. Para \( x = -2.5 \): \[ f(-2.5) = ((-2.5)^2 - 1)((-2.5)^2 - 4)((-2.5)^2 - 9) = (6.25 - 1)(6.25 - 4)(6.25 - 9) = 5.25 \cdot 2.25 \cdot (-2.75) < 0 \] 3. Para \( x = -1.5 \): \[ f(-1.5) = ((-1.5)^2 - 1)((-1.5)^2 - 4)((-1.5)^2 - 9) = (2.25 - 1)(2.25 - 4)(2.25 - 9) = 1.25 \cdot (-1.75) \cdot (-6.75) > 0 \] 4. Para \( x = 0 \): \[ f(0) = (0^2 - 1)(0^2 - 4)(0^2 - 9) = (-1)(-4)(-9) < 0 \] 5. Para \( x = 1.5 \): \[ f(1.5) = ((1.5)^2 - 1)((1.5)^2 - 4)((1.5)^2 - 9) = (2.25 - 1)(2.25 - 4)(2.25 - 9) = 1.25 \cdot (-1.75) \cdot (-6.75) > 0 \] 6. Para \( x = 2.5 \): \[ f(2.5) = ((2.5)^2 - 1)((2.5)^2 - 4)((2.5)^2 - 9) = (6.25 - 1)(6.25 - 4)(6.25 - 9) = 5.25 \cdot 2.25 \cdot (-2.75) < 0 \] 7. Para \( x = 4 \): \[ f(4) = ((4)^2 - 1)((4)^2 - 4)((4)^2 - 9) = (16 - 1)(16 - 4)(16 - 9) = 15 \cdot 12 \cdot 7 > 0 \] ### Conclusión La función \( f(x) \) tiene raíces en \( x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 \) y cambia de signo en cada raíz. El comportamiento de la función es positivo en los intervalos \( (-\infty, -3) \), \( (-1, 1) \), y \( (3, \infty) \), y negativo en los intervalos \( (-3, -2) \), \( (-2, -1) \), \( (1, 2) \), y \( (2, 3) \).