Aplica el teorema de Green para resolver la integral de línea: \( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\oint_{C}\left(y^{2} d x+3 x y d y\right) \) Donde \( \mathbf{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=\left(y^{2}, 3 x y\right) \) con limites en \( x \) de 1 a 4 y en \( y \) de 0 a 3 . . 45 O 13.5 036

Dado el campo vectorial \[ \mathbf{F}(x, y)=(P(x, y), Q(x, y))=\left(y^{2},\, 3xy\right) \] y la integral de línea \[ \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}\left(y^{2}\,dx+3xy\,dy\right), \] aplicaremos el teorema de Green para convertir la integral de línea en una integral doble. El teorema de Green establece que \[ \oint_{C} \left(P\,dx+Q\,dy\right)=\iint_{R}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy, \] donde \( R \) es la región encerrada por la curva \( C \). 1. Calculamos las derivadas parciales: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (3xy)}{\partial x} = 3y, \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (y^{2})}{\partial y} = 2y. \] 2. Entonces el integrando en la integral doble es \[ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3y-2y=y. \] 3. La integral se transforma en: \[ \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{R} y\,dx\,dy. \] 4. La región \( R \) está definida por \( x \) en \([1,4]\) y \( y \) en \([0,3]\), por lo que integrando primero respecto a \( x \) y luego a \( y \) tenemos: \[ \iint_{R} y\,dx\,dy=\int_{y=0}^{3}\int_{x=1}^{4} y\,dx\,dy. \] 5. Realizamos la integral interna respecto a \( x \): \[ \int_{x=1}^{4} y\,dx=y\int_{x=1}^{4}dx=y\,(4-1)=3y. \] 6. Sustituimos y evaluamos la integral respecto a \( y \): \[ \int_{y=0}^{3} 3y\,dy=3\int_{y=0}^{3} y\,dy=3\cdot \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=3\cdot \frac{9}{2}=\frac{27}{2}=13.5. \] Por lo tanto, el valor de la integral es \(\mathbf{13.5}\).