\( x ^ { 2 } y ^ { \prime \prime } + x y ^ { \prime } = 2 \)

Sea la ecuación diferencial \[ x^2 y'' + x y' = 2. \] **Paso 1.** Realizamos el cambio de variable \( u = y' \), de modo que \( u' = y'' \). Al sustituir en la ecuación se obtiene: \[ x^2 u' + x u = 2. \] **Paso 2.** Dividimos toda la ecuación entre \( x^2 \) (asumiendo \( x \neq 0 \)) para escribirla en forma estándar de una ecuación lineal de primer orden en \( u \): \[ u' + \frac{1}{x}u = \frac{2}{x^2}. \] **Paso 3.** Se halla el factor integrante. El factor integrante \(\mu(x)\) se calcula como: \[ \mu(x) = e^{\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{\ln|x|} = |x|. \] Asumiendo \( x>0 \) para simplificar, tomamos \( \mu(x) = x \). **Paso 4.** Multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante: \[ x u' + u = \frac{2}{x}. \] Reconocemos que el lado izquierdo es la derivada del producto \( x u \), es decir: \[ \frac{d}{dx}(x u) = \frac{2}{x}. \] **Paso 5.** Integramos ambos lados con respecto a \( x \): \[ \int \frac{d}{dx}(x u)\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx. \] Lo que da: \[ x u = 2\ln|x| + C_1, \] donde \( C_1 \) es la constante de integración. Así, se tiene: \[ u = y' = \frac{2\ln|x|}{x} + \frac{C_1}{x}. \] **Paso 6.** Ahora integramos \( y' \) para obtener \( y \): \[ y = \int y'\,dx = \int \left(\frac{2\ln|x|}{x} + \frac{C_1}{x}\right) dx. \] Resolvamos ambas integrales por separado. - Para la integral \( \int \frac{2\ln|x|}{x} dx \): Sea \( v = \ln|x| \) de modo que \( dv = \frac{1}{x}dx \). Entonces: \[ \int \frac{2\ln|x|}{x} \,dx = 2\int v\,dv = 2\cdot \frac{v^2}{2} = (\ln|x|)^2. \] - Para la integral \( \int \frac{C_1}{x} dx \): \[ \int \frac{C_1}{x}\,dx = C_1 \ln|x|. \] **Paso 7.** Combinamos ambos resultados e introducimos una nueva constante de integración \( C_2 \): \[ y = (\ln|x|)^2 + C_1 \ln|x| + C_2. \] La solución general de la ecuación diferencial es, por lo tanto: \[ y(x) = (\ln|x|)^2 + C_1 \ln|x| + C_2. \]