Sea la función \( f(x, y)=x^{3} y^{2}-5 x^{2} y+7 y^{3} \) Calcula la segunda derivada parcial \( f \) con respecto a \( { }_{x} \), es decir, \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \)

Para calcular la segunda derivada parcial \( \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \) de la función \( f(x, y) = x^{3} y^{2} - 5 x^{2} y + 7 y^{3} \), primero vamos a encontrar la primera derivada parcial \( \frac{\partial f}{\partial x} \). \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} y^{2}) - \frac{\partial}{\partial x}(5 x^{2} y) + \frac{\partial}{\partial x}(7 y^{3}) \] La derivada de cada término es: 1. \( \frac{\partial}{\partial x}(x^{3} y^{2}) = 3x^{2} y^{2} \) 2. \( \frac{\partial}{\partial x}(5 x^{2} y) = 10xy \) 3. \( \frac{\partial}{\partial x}(7 y^{3}) = 0 \) (ya que no depende de \( x \)) Por lo tanto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^{2} y^{2} - 10xy \] Ahora, tomamos la derivada parcial de \( \frac{\partial f}{\partial x} \) con respecto a \( x \) nuevamente: \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2} y^{2} - 10xy) \] Calculamos cada término: 1. \( \frac{\partial}{\partial x}(3x^{2} y^{2}) = 6xy^{2} \) 2. \( \frac{\partial}{\partial x}(-10xy) = -10y \) Entonces, sumando ambos resultados: \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 6xy^{2} - 10y \] La respuesta final para la segunda derivada parcial es: \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 6xy^{2} - 10y \]