\( y ^ { \prime \prime } + ( y ^ { \prime } ) ^ { 2 } = 1 \)

Considera la ecuación diferencial \[ y'' + (y')^2 = 1. \] ### Paso 1. Reducción de orden Sea \[ u = y', \] por lo que \[ u' = y''. \] Sustituyendo en la ecuación original obtenemos \[ u' + u^2 = 1. \] ### Paso 2. Separación de variables La ecuación para \( u \) es \[ \frac{du}{dx} = 1 - u^2. \] Separamos las variables: \[ \frac{du}{1-u^2} = dx. \] ### Paso 3. Integración Integramos ambos lados: \[ \int \frac{du}{1-u^2} = \int dx. \] Recordando que \[ \int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| + C_1, \] obtenemos \[ \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| = x + C_2. \] Multiplicamos ambos lados por 2: \[ \ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right| = 2x + C, \] donde \( C = 2C_2 \) es una constante arbitraria. ### Paso 4. Resolver para \( u \) Exponenciamos ambos lados para eliminar el logaritmo: \[ \left|\frac{1+u}{1-u}\right| = e^{2x+C} = Ae^{2x}, \] donde \( A = e^C \) es una constante positiva. Suponiendo que la constante absorbe el signo, podemos escribir sin la valor absoluto: \[ \frac{1+u}{1-u} = Ae^{2x}. \] Para despejar \( u \), multiplicamos: \[ 1 + u = Ae^{2x}(1 - u). \] Desarrollamos: \[ 1 + u = Ae^{2x} - Ae^{2x} u. \] Reuniendo los términos en \( u \): \[ u + Ae^{2x} u = Ae^{2x} - 1, \] factorizamos \( u \): \[ u(1 + Ae^{2x}) = Ae^{2x} - 1. \] De donde se obtiene \[ u = \frac{Ae^{2x} - 1}{Ae^{2x} + 1}. \] Podemos también reconocer que esta expresión es equivalentemente la función tangente hiperbólica: \[ u = \tanh (x + C_1), \] donde \( C_1 \) es una constante arbitraria. Recordemos que \( u = y' \), por lo que \[ y' = \tanh (x + C_1). \] ### Paso 5. Integrar para obtener \( y \) Integramos respecto a \( x \): \[ y = \int \tanh (x + C_1) \, dx. \] Realizando la integración, recordamos que \[ \int \tanh z \, dz = \ln|\cosh z| + C, \] por lo tanto, haciendo el cambio de variable \( z = x + C_1 \) (notando que \( dz = dx \)) tenemos \[ y = \ln\left|\cosh(x + C_1)\right| + C_2, \] donde \( C_2 \) es una constante de integración. ### Solución General La solución general de la ecuación diferencial es \[ y(x) = \ln\left|\cosh(x + C_1)\right| + C_2. \] Esta es la solución en términos de constantes arbitrarias \( C_1 \) y \( C_2 \).