$$ \frac { d T } { d t } = - k ( T - 20 ) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

```markdown
Dada la ecuación diferencial

$$
\frac{dT}{dt} = -k (T - 20)
$$

procedemos a resolverla paso a paso.

**Paso 1: Separar variables**

Dividimos ambos lados de la ecuación por $$(T - 20)$$ y multiplicamos por $$dt$$:

$$
\frac{dT}{T - 20} = -k\, dt
$$

**Paso 2: Integrar ambos lados**

Integramos el lado izquierdo respecto a $$T$$ y el derecho respecto a $$t$$:

$$
\int \frac{dT}{T - 20} = \int -k\, dt
$$

**Paso 3: Resolver las integrales**

La integral del lado izquierdo es:

$$
\int \frac{dT}{T - 20} = \ln |T - 20| + C_1
$$

La integral del lado derecho es:

$$
\int -k\, dt = -k t + C_2
$$

Podemos combinar las constantes de integración en una sola constante $$C$$ (donde $$C = C_2 - C_1$$):

$$
\ln |T - 20| = -k t + C
$$

**Paso 4: Resolver para $$T$$**

Elevamos a la exponencial ambos lados para eliminar el logaritmo:

$$
|T - 20| = e^{-k t + C} = e^C e^{-k t}
$$

Definimos una nueva constante $$A = e^C$$ (que es positiva) y podemos escribir:

$$
T - 20 = A e^{-k t}
$$

(Puede omitirse el valor absoluto al incluir $$A$$ como una constante arbitraria que puede tomar cualquier valor real.)

**Paso 5: Expresar la solución general**

Finalmente, despejando $$T$$, obtenemos:

$$
T(t) = 20 + A e^{-k t}
$$

donde $$A$$ es una constante de integración determinada por las condiciones iniciales.

Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada.
```
La solución de la ecuación diferencial $$ \frac{dT}{dt} = -k (T - 20) $$ es: $$ T(t) = 20 + A e^{-k t} $$ donde $$ A $$ es una constante determinada por las condiciones iniciales.

\( \frac { d T } { d t } = - k ( T - 20 ) \)

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