5. A modo de consulta: ¿De qué manera puede explicarse la caida de los objetos mediante un modelo matemático fundamentado en ecuaciones diferenciales? Justilique su respuesta a partir de modelado matematico.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Partimos de la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza neta que actúa sobre un objeto es igual al producto de su masa por su aceleración. Así, para un objeto en caída se tiene

$$
m \frac{d^2x}{dt^2} = F_{\text{neto}}.
$$

2. Si consideramos únicamente la aceleración debido a la gravedad, la única fuerza que actúa es el peso $$ mg $$, lo que conduce a la ecuación diferencial

$$
m \frac{d^2x}{dt^2} = mg.
$$

Dividiendo por $$ m $$, obtenemos

$$
\frac{d^2x}{dt^2} = g.
$$

Esta ecuación indica que la aceleración es constante e igual a la aceleración de la gravedad, $$ g $$.

3. Si deseamos modelar la caída de un objeto considerando además la resistencia del aire, podemos incluir una fuerza de rozamiento. Un modelo común es asumir que la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad del objeto. En ese caso, la fuerza de rozamiento se expresa como $$ kv $$, donde $$ k $$ es un coeficiente positivo. La fuerza neta que actúa sobre el objeto es

$$
F_{\text{neto}} = mg - kv.
$$

La ecuación diferencial resultante, aplicando la segunda ley de Newton, es

$$
m \frac{dv}{dt} = mg - kv.
$$

Dividiendo por $$ m $$:

$$
\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v.
$$

4. La ecuación

$$
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g
$$

es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden lineal. Su solución general se obtiene utilizando un factor integrante. El factor integrante es

$$
\mu(t) = e^{\int \frac{k}{m} \, dt} = e^{\frac{k}{m}t}.
$$

Multiplicando la ecuación diferencial por $$ \mu(t) $$:

$$
e^{\frac{k}{m}t}\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} e^{\frac{k}{m}t}v = g e^{\frac{k}{m}t}.
$$

El lado izquierdo es la derivada de $$ e^{\frac{k}{m}t}v $$, por lo que

$$
\frac{d}{dt}\left(e^{\frac{k}{m}t}v\right) = g e^{\frac{k}{m}t}.
$$

Integrando ambos lados respecto al tiempo:

$$
e^{\frac{k}{m}t}v = g \int e^{\frac{k}{m}t} \, dt = g \cdot \frac{m}{k} e^{\frac{k}{m}t} + C,
$$

donde $$ C $$ es la constante de integración. De aquí se obtiene la solución para la velocidad:

$$
v(t) = \frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m}t}.
$$

5. La constante $$ C $$ se determina a partir de la condición inicial. Suponiendo que al tiempo $$ t = 0 $$ la velocidad es $$ v(0) = v_0 $$, entonces

$$
v_0 = \frac{mg}{k} + C,
$$

de donde

$$
C = v_0 - \frac{mg}{k}.
$$

Así, la solución particular es

$$
v(t) = \frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right) e^{-\frac{k}{m}t}.
$$

El término $$ \frac{mg}{k} $$ representa la velocidad terminal del objeto, es decir, la velocidad asintótica cuando $$ t \to \infty $$ en presencia de fuerza de rozamiento.

6. La posición $$ x(t) $$ se obtiene integrando la velocidad:

$$
x(t) = \int v(t) \, dt = \int \left[\frac{mg}{k} + \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{k}{m}t}\right] dt.
$$

Integrando término a término se tiene

$$
x(t) = \frac{mg}{k}t - \left(v_0 - \frac{mg}{k}\right)\frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}t} + C_x,
$$

donde $$ C_x $$ es otra constante de integración que se determina con la condición inicial de la posición, por ejemplo, $$ x(0)=x_0 $$.

7. En resumen, el modelo matemático mediante ecuaciones diferenciales permite explicar la caída de objetos:
   - Sin resistencia del aire, se modela con $$ \frac{d^2x}{dt^2} = g $$, lo que implica una aceleración constante.
   - Con resistencia del aire, se introduce un término de rozamiento, obteniéndose una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad. La solución muestra cómo el objeto alcanza una velocidad terminal $$ \frac{mg}{k} $$.

Este análisis justifica el comportamiento observado en la caída de objetos y cómo se pueden obtener soluciones analíticas mediante herramientas matemáticas aplicadas a modelos físicos.
La caída de objetos puede explicarse mediante ecuaciones diferenciales que modelan la aceleración debida a la gravedad. Sin resistencia del aire, la aceleración es constante. Con resistencia, se incluye una fuerza proporcional a la velocidad, lo que lleva a una ecuación diferencial para la velocidad que se resuelve para obtener la velocidad y posición del objeto con el tiempo.

5. A modo de consulta: ¿De qué manera puede explicarse la caida de los objetos mediante un modelo matemático fundamentado en ecuaciones diferenciales? Justilique su respuesta a partir de modelado matematico.

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