Can 3. Cbo ham só $$ f(x)=2 \cos x+x \sqrt{2} $$. a) Đao hàm cua hàm sô dà cho la $$ f^{\prime}(x)=2 \sin x+\sqrt{2} $$. b) Iinh $$ f(0)=2 $$ và $$ f(\pi)=-2+\pi \sqrt{2} $$. Aúno c) Tông giá uri lơn nhà và giá tụ nho nhất của $$ f(x) $$ trên doạn $$ [0 ; \pi] $$ là $$ \pi \sqrt{2} $$. d) Phưong trinh $$ f^{\prime}(x)=0 $$ co dung 2 nghiệm trên doạn $$ [0 ; \pi] $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### a) Đạo hàm của hàm số

Hàm số đã cho là $$ f(x) = 2 \cos x + x \sqrt{2} $$.

Đạo hàm của hàm số này được tính như sau:

1. Đạo hàm của $$ 2 \cos x $$ là $$ -2 \sin x $$.
2. Đạo hàm của $$ x \sqrt{2} $$ là $$ \sqrt{2} $$.

Vậy, đạo hàm của hàm số $$ f(x) $$ là:

$$
f'(x) = -2 \sin x + \sqrt{2}
$$

### b) Tính giá trị của hàm số tại các điểm

Chúng ta cần tính $$ f(0) $$ và $$ f(\pi) $$:

1. Tại $$ x = 0 $$:
   $$
   f(0) = 2 \cos(0) + 0 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 1 + 0 = 2
   $$

2. Tại $$ x = \pi $$:
   $$
   f(\pi) = 2 \cos(\pi) + \pi \sqrt{2} = 2 \cdot (-1) + \pi \sqrt{2} = -2 + \pi \sqrt{2}
   $$

### c) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $$ f(x) $$ trên đoạn $$ [0; \pi] $$

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $$ [0; \pi] $$, ta cần tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $$ f'(x) = 0 $$:

$$
-2 \sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
$$

Giải phương trình này trong đoạn $$ [0; \pi] $$ cho ta các nghiệm:

$$
x = \frac{\pi}{4} \quad \text{(vì } \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{)}
$$

Bây giờ, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm:

- $$ f(0) = 2 $$
- $$ f(\pi) = -2 + \pi \sqrt{2} $$
- $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} = \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} \sqrt{2} = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{2} $$

So sánh các giá trị:

- $$ f(0) = 2 $$
- $$ f(\pi) = -2 + \pi \sqrt{2} $$
- $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \left(1 + \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{2} $$

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ phụ thuộc vào giá trị của $$ \pi $$. Nếu $$ \pi \approx 3.14 $$, thì:

- $$ f(\pi) \approx -2 + 3.14 \cdot \sqrt{2} $$
- $$ \sqrt{2} \approx 1.41 $$ nên $$ f(\pi) \approx -2 + 4.44 \approx 2.44 $$

Vậy giá trị lớn nhất là $$ \pi \sqrt{2} $$ và giá trị nhỏ nhất là $$ 2 $$.

### d) Phương trình $$ f'(x) = 0 $$ có 2 nghiệm trên đoạn $$ [0; \pi] $$

Chúng ta đã tìm được một nghiệm là $$ x = \frac{\pi}{4} $$. Để kiểm tra xem có nghiệm thứ hai hay không, ta xem xét hàm số $$ f'(x) = -2 \sin x + \sqrt{2} $$:

- Hàm số $$ -2 \sin x $$ giảm từ 0 đến -2 trong khoảng $$ [0; \pi] $$.
- Hàm số $$ \sqrt{2} $$ là hằng số.

Vì vậy, hàm số $$ f'(x) $$ sẽ cắt trục hoành tại hai điểm trong khoảng $$ [0; \pi] $$.

### Kết luận

- a) $$ f'(x) = -2 \sin x + \sqrt{2} $$
- b) $$ f(0) = 2 $$ và $$ f(\pi) = -2 + \pi \sqrt{2} $$
- c) Giá trị lớn nhất là $$ \pi \sqrt{2} $$ và giá trị nhỏ nhất là $$ 2 $$.
- d) Phương trình $$ f'(x) = 0 $$ có 2 nghiệm trên đoạn $$ [0; \pi] $$.
a) Đạo hàm của hàm số $$ f(x) = 2 \cos x + x \sqrt{2} $$ là $$ f'(x) = -2 \sin x + \sqrt{2} $$. b) Giá trị của hàm số tại $$ x = 0 $$ là 2, và tại $$ x = \pi $$ là $$ -2 + \pi \sqrt{2} $$. c) Trên đoạn $$ [0; \pi] $$, giá trị lớn nhất của $$ f(x) $$ là $$ \pi \sqrt{2} $$ và giá trị nhỏ nhất là 2. d) Phương trình $$ f'(x) = 0 $$ có 2 nghiệm trên đoạn $$ [0; \pi] $$.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions