1. Un acto A parte del reposo con aceleracioñ constante \( a_{A}=1.6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \). Al mismo tiempo, 100 m mas adelante, an camion c viaya en el mis mo sentido con velociclad de \( 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} \) y auelerando a \( a_{c}=0.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \) Encontrair: a) El tie mpo que tarda A en alcanzar ac. b) El lugar donde ocurre. b) La rapidez qe lleva cada ono.

Sea \( t \) el tiempo transcurrido hasta el encuentro. Se tiene lo siguiente: **Para el auto A (parte del reposo con aceleración constante):** La posición de A es \[ x_A(t) = \frac{1}{2} a_A t^2 = \frac{1}{2}(1.6)t^2 = 0.8t^2. \] La velocidad de A es \[ v_A(t) = a_A t = 1.6t. \] **Para el camión (inicialmente 100 m adelante, velocidad inicial \( 30 \ \mathrm{km/h} \) y aceleración \( a_c = 0.4 \ \mathrm{m/s^2} \)):** Primero, convertimos \( 30 \ \mathrm{km/h} \) a m/s: \[ 30 \ \mathrm{km/h} = 30 \times \frac{1000}{3600} \approx 8.33 \ \mathrm{m/s}. \] La posición del camión es \[ x_c(t) = 100 + v_{c0}\,t + \frac{1}{2} a_c t^2 = 100 + 8.33t + 0.2t^2. \] La velocidad del camión es \[ v_c(t) = v_{c0} + a_c t = 8.33 + 0.4t. \] --- **a) Encontrar el tiempo \( t \) en que A alcanza al camión.** Para el encuentro se debe cumplir que las posiciones sean iguales: \[ x_A(t) = x_c(t). \] Es decir, \[ 0.8t^2 = 100 + 8.33t + 0.2t^2. \] Restamos \( 0.2t^2 + 8.33t + 100 \) a ambos lados para obtener la ecuación cuadrática: \[ 0.8t^2 - 0.2t^2 - 8.33t - 100 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 0.6t^2 - 8.33t - 100 = 0. \] Esta ecuación cuadrática se resuelve usando la fórmula general: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] donde \( a = 0.6 \), \( b = -8.33 \) y \( c = -100 \). Calculamos el discriminante: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8.33)^2 - 4(0.6)(-100) = 69.39 + 240 = 309.39. \] \[ \sqrt{\Delta} \approx 17.59. \] Entonces, \[ t = \frac{8.33 \pm 17.59}{1.2}. \] Se toma la solución positiva: \[ t = \frac{8.33 + 17.59}{1.2} = \frac{25.92}{1.2} \approx 21.6 \ \mathrm{s}. \] --- **b) Encontrar el lugar donde ocurre el encuentro.** Sustituimos \( t \approx 21.6 \ \mathrm{s} \) en la posición de A: \[ x_A(21.6) = 0.8 \times (21.6)^2 \approx 0.8 \times 466.56 \approx 373.25 \ \mathrm{m}. \] Verificando con la posición del camión: \[ x_c(21.6) = 100 + 8.33(21.6) + 0.2(21.6)^2 \approx 100 + 179.93 + 93.31 \approx 373.24 \ \mathrm{m}, \] lo cual confirma el resultado. --- **c) Determinar la rapidez (velocidad) de cada vehículo en el momento del encuentro.** Para A: \[ v_A(21.6) = 1.6 \times 21.6 \approx 34.56 \ \mathrm{m/s}. \] Para el camión: \[ v_c(21.6) = 8.33 + 0.4 \times 21.6 \approx 8.33 + 8.64 \approx 16.97 \ \mathrm{m/s}. \] --- **Respuesta final:** - **a)** El tiempo que tarda A en alcanzar al camión es aproximadamente \( 21.6 \ \mathrm{s} \). - **b)** El encuentro ocurre a unos \( 373 \ \mathrm{m} \) del punto de partida de A. - **c)** Al momento del encuentro, el auto A lleva una velocidad de aproximadamente \( 34.6 \ \mathrm{m/s} \) y el camión de \( 17.0 \ \mathrm{m/s} \).