54 Étudier dans \( \mathbb{R} \) le signe de la fonction \( f(x)=7(x+1)(x-3) \). En déduire les solutions de \( 7(x+1)(x-3)>0 \).

Nous avons la fonction f définie par f(x) = 7(x + 1)(x – 3). 1. Étude du signe de f(x) sur ℝ : • Les facteurs s'annulent pour :  – x + 1 = 0 ⟹ x = –1,  – x – 3 = 0 ⟹ x = 3.  Ces deux valeurs découpent ℝ en trois intervalles : (–∞, –1), (–1, 3), et (3, +∞). • Le coefficient 7 est positif et ne modifie pas le signe. • Pour x dans (–∞, –1) :  – x + 1 < 0,  – x – 3 < 0.  Le produit (x+1)(x–3) est positif (car négatif × négatif = positif).  Donc f(x) > 0. • Pour x dans (–1, 3) :  – x + 1 > 0,  – x – 3 < 0.  Le produit est négatif (positif × négatif = négatif).  Donc f(x) < 0. • Pour x dans (3, +∞) :  – x + 1 > 0,  – x – 3 > 0.  Le produit est positif (positif × positif = positif).  Donc f(x) > 0. On résume dans le tableau de signes :        x : –∞ ... –1 ... 3 ... +∞      f(x) = 7(x+1)(x–3) : + 0 – 0 + 2. Déduction des solutions de l'inéquation 7(x + 1)(x – 3) > 0 : On recherche les intervalles où f(x) est strictement positif, c'est-à-dire :  x dans (–∞, –1) ∪ (3, +∞). Ainsi, les solutions de l'inéquation sont : x ∈ (–∞, –1) ∪ (3, +∞).