\( 2 \cdot 5 ^ { x } - 2 ^ { x - 1 } - \sqrt { 7 \cdot 10 ^ { x } - 2 \cdot 4 ^ { x } - 5 \cdot 25 ^ { x } } > 0 \)

Рассмотрим неравенство: \[ 2 \cdot 5^{x} - 2^{x - 1} - \sqrt{7 \cdot 10^{x} - 2 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 25^{x}} > 0 \] Для упрощения, начнем с преобразования выражений. Заменим \(10^x\), \(4^x\) и \(25^x\) на более простые формы: \[ 10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x \] \[ 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \] \[ 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 \] Теперь подставим эти выражения в неравенство: \[ 2 \cdot 5^{x} - 2^{x - 1} - \sqrt{7 \cdot (2^x \cdot 5^x) - 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot (5^x)^2} > 0 \] Упрощаем подкоренное выражение: \[ 7 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot (5^x)^2 \] Теперь обозначим \(a = 2^x\) и \(b = 5^x\). Тогда неравенство можно записать как: \[ 2b - \frac{a}{2} - \sqrt{7ab - 2a^2 - 5b^2} > 0 \] Теперь упростим подкоренное выражение: \[ 7ab - 2a^2 - 5b^2 \] Теперь мы можем рассмотреть, при каких значениях \(x\) это неравенство выполняется. Для этого нужно решить неравенство: \[ 2b - \frac{a}{2} > \sqrt{7ab - 2a^2 - 5b^2} \] Квадрат обеих сторон даст: \[ (2b - \frac{a}{2})^2 > 7ab - 2a^2 - 5b^2 \] Раскроем скобки и упростим: \[ 4b^2 - 2ab + \frac{a^2}{4} > 7ab - 2a^2 - 5b^2 \] Соберем все в одну сторону: \[ 4b^2 - 2ab + \frac{a^2}{4} - 7ab + 2a^2 + 5b^2 > 0 \] Это упростится до: \[ (4b^2 + 5b^2) + \left(\frac{a^2}{4} + 2a^2\right) - (2ab + 7ab) > 0 \] Итак, у нас есть: \[ 9b^2 + \frac{9a^2}{4} - 9ab > 0 \] Разделим на 9: \[ b^2 + \frac{a^2}{4} - ab > 0 \] Теперь это неравенство можно решить, используя методы анализа или графически. Для нахождения конкретных значений \(x\) можно использовать численные методы или графики. Если вам нужно больше информации или конкретные значения, пожалуйста, дайте знать!