49. (IME 1986) Mostre que os números 12,20 e 35 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica.

Para que três números possam ser termos de uma mesma progressão geométrica (PG), a razão entre os números deve ser constante. Em uma PG com termos \( a \), \( b \) e \( c \) (neste caso, 12, 20 e 35), deve-se ter: \[ \frac{b}{a} = \frac{c}{b}. \] Substituindo os valores, obtemos: \[ \frac{20}{12} = \frac{35}{20}. \] Calculando a razão do lado esquerdo, temos \( \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \). Para a razão do lado direito, \( \frac{35}{20} = \frac{7}{4} \). Como \( \frac{5}{3} \neq \frac{7}{4} \), os números 12, 20 e 35 não podem ser termos de uma mesma PG. Agora, para uma aplicação real disso, considere as sequências de crescimento, onde entender que um crescimento não uniforme pode indicar a necessidade de revisar estratégias de investimento ou até mesmo a análise de dados financeiros. Além disso, um erro comum é assumir que qualquer série de números crescentes ou decrescentes são progressões geométricas, mas é vital verificar as razões entre eles para evitar equívocos em análises matemáticas e financeiras!