Un agricultor tiene 2400 pies de cerca y quiere cercar un campo rectangular que bordea un río recto. No necesita cerca a lo largo del río. Halle: a) La función área en función de uno de sus lados. b) El dominio de la función. c) El rango de la función. d) El área máxima. e) Las dimensiones del campo que tiene mayor área

Para poder cercar un campo rectangular que tiene un lado libre al río, consideremos que el campo tiene un lado de longitud \( x \) (el lado paralelo al río) y otro de longitud \( y \). La fórmula para la cerca total, que abarca solo tres lados, es: \[ x + 2y = 2400 \] De aquí podemos despejar \( y \): \[ y = \frac{2400 - x}{2} \] La función área \( A \) en términos de \( x \) es: \[ A(x) = x \cdot y = x \cdot \frac{2400 - x}{2} = \frac{2400x - x^2}{2} \] Ahora, analicemos el dominio: dado que \( x \) debe ser mayor que 0 y menor o igual que 2400, el dominio es \( 0 < x < 2400 \). El rango de la función área se determina a partir del área máxima que puede ser alcanzada. Para encontrar el área máxima, podemos derivar \( A(x) \) y establecer la derivada igual a cero. Al resolver esta derivada, encontramos que la máxima área ocurre cuando \( x = 1200 \), y haciendo el cálculo nos da \( A(1200) = 1440000 \) pies cuadrados. Para determinar las dimensiones del campo que maximizan el área, sustituimos \( x = 1200 \) en nuestra ecuación para \( y \): \[ y = \frac{2400 - 1200}{2} = 600 \] Por lo tanto, las dimensiones que brindan el área máxima son \( 1200 \) pies de largo (paralelo al río) y \( 600 \) pies de ancho.