4) Elegir la única afirmación verdadera acerca del conjunto solución de la ecuación: \[ 5 x^{2}=-6 x+17 \] con \( x \in R \). a) La única solución es \( x=\frac{11}{5} \). b) \( S=\left\{x \in R: x=\frac{-6+\sqrt{376}}{10}\right\} \). c) \( S=\left\{x \in R:|x|=\frac{11}{5}\right\} \). d) Las únicas soluciones son \( x^{1}=-\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{376}}{10} y x^{2}=-\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{376}}{10} \)

La ecuación dada es: \[ 5x^{2} = -6x + 17 \] Primero, reescribimos la ecuación en forma estándar: \[ 5x^{2} + 6x - 17 = 0 \] Para encontrar las soluciones reales de esta ecuación cuadrática, calculamos el discriminante \( D \): \[ D = b^{2} - 4ac \] \[ D = (6)^{2} - 4(5)(-17) \] \[ D = 36 + 340 \] \[ D = 376 \] Como el discriminante es positivo (\( D = 376 \)), la ecuación tiene dos soluciones reales distintas, que se calculan utilizando la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{376}}{10} \] \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{376}}{10} \] \[ x = -\frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{376}}{10} \] Analizando las opciones: a) **Incorrecta**: La ecuación tiene dos soluciones, no una sola. b) **Incorrecta**: Solo representa una de las dos soluciones. c) **Incorrecta**: No corresponde a las soluciones obtenidas. d) **Correcta**: Representa correctamente ambas soluciones de la ecuación. **Respuesta correcta:** d) Las únicas soluciones son \( x^{1}=-\frac{3}{5}+\frac{\sqrt{376}}{10} \) y \( x^{2}=-\frac{3}{5}-\frac{\sqrt{376}}{10} \).