\( x y ^ { \prime \prime } + y ^ { \prime } = 0 \)

```markdown Consideramos la ecuación diferencial: \[ x\,y'' + y' = 0. \] 1. Realizamos el cambio de variable: Sea \(\,p(x) = y'(x)\), por lo que \(y''(x) = p'(x)\). Entonces la ecuación se transforma en: \[ x\,p'(x) + p(x) = 0. \] 2. Escribimos la ecuación en forma estándar: \[ p'(x) + \frac{1}{x}\,p(x) = 0. \] 3. Separamos variables para resolver la ecuación diferencial de primer orden: \[ \frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x}. \] 4. Integramos ambos lados: \[ \int \frac{dp}{p} = -\int \frac{dx}{x} \quad \Longrightarrow \quad \ln |p| = -\ln |x| + C, \] donde \(C\) es la constante de integración. 5. Exponenciamos ambos lados para despejar \(p(x)\): \[ |p| = e^{-\ln |x| + C} = e^C \cdot e^{-\ln |x|} = \frac{e^C}{|x|}. \] Si definimos \(e^C\) como una nueva constante arbitraria \(C_1\) (que puede ser positiva o negativa), obtenemos: \[ p(x) = \frac{C_1}{x}. \] Recordando que \(p(x) = y'(x)\), tenemos: \[ y'(x) = \frac{C_1}{x}. \] 6. Integramos para obtener \(y(x)\): \[ y(x) = \int y'(x)\,dx = \int \frac{C_1}{x}\,dx = C_1\ln |x| + C_2, \] donde \(C_2\) es otra constante de integración. La solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = C_1\ln |x| + C_2. \] ```