Simplificando a expressão abaixo \( \sqrt[4]{\frac{2^{65}+2^{67}}{10}} \)

Para simplificar a expressão \( \sqrt[4]{\frac{2^{65}+2^{67}}{10}} \), primeiro podemos fatorar o numerador. Note que \( 2^{67} = 2^{65} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{65} \). Então, podemos reescrever a soma: \[ 2^{65} + 2^{67} = 2^{65} + 4 \cdot 2^{65} = 2^{65}(1 + 4) = 5 \cdot 2^{65}. \] Substituindo isso na expressão original, temos: \[ \sqrt[4]{\frac{5 \cdot 2^{65}}{10}}. \] Agora, notamos que \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \): \[ \frac{5 \cdot 2^{65}}{10} = \frac{1 \cdot 2^{65}}{2} = \frac{2^{65}}{2} = 2^{64}. \] Agora substituímos isso de volta: \[ \sqrt[4]{2^{64}}. \] Como a raiz quarta de \( 2^{64} \) é \( 2^{64/4} = 2^{16} \), concluímos que a expressão simplificada é: \[ 2^{16}. \]