C.-) \( y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)

La función dada es: \[ y = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \] Esta expresión representa la **función hiperbólica tangente**, comúnmente denotada como **tanh(x)**. A continuación, se detallan algunas propiedades y características de esta función: ### Propiedades de la Función tanh(x) 1. **Dominio:** - La función está definida para todos los números reales \( x \in \mathbb{R} \). 2. **Rango:** - Los valores de \( y \) están limitados entre -1 y 1, es decir, \( -1 < y < 1 \). 3. **Simetría:** - Es una función impar, lo que significa que \( \text{tanh}(-x) = -\text{tanh}(x) \). 4. **Asintotas:** - A medida que \( x \) tiende a \( +\infty \), \( \text{tanh}(x) \) se aproxima a 1. - A medida que \( x \) tiende a \( -\infty \), \( \text{tanh}(x) \) se aproxima a -1. 5. **Puntos de Interés:** - Pasa por el origen, es decir, \( \text{tanh}(0) = 0 \). 6. **Derivada:** - La derivada de \( \text{tanh}(x) \) es \( \text{sech}^2(x) \), donde \( \text{sech}(x) \) es la función hiperbólica secante. ### Gráfica de tanh(x) La gráfica de la función \( \text{tanh}(x) \) tiene una forma sigmoide, similar a la función logística. Es asintótica a las líneas \( y = 1 \) y \( y = -1 \) y cruza el origen. La pendiente en el origen es máxima, lo que indica que la función cambia más rápidamente cerca de \( x = 0 \). ### Aplicaciones La función \( \text{tanh}(x) \) se utiliza en diversas áreas, incluyendo: - **Redes Neuronales:** Como función de activación para introducir no linealidades. - **Física:** En la descripción de fenómenos que exhiben simetría hiperbólica. - **Ingeniería:** En el modelado de sistemas que tienen respuestas limitadas. ### Relación con otras Funciones Hiperbólicas La función \( \text{tanh}(x) \) está relacionada con otras funciones hiperbólicas: \[ \text{tanh}(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \] Donde: - \( \sinh(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \) es la función seno hiperbólico. - \( \cosh(x) = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} \) es la función coseno hiperbólico. Estas relaciones son útiles para simplificar cálculos y entender mejor el comportamiento de las funciones hiperbólicas en distintos contextos.