18:45 5G แบบทดสอบก่อนปลายภาค รายวิชา \( 1030510 . . \). 1. สมการต่อไปนี เป็นสมการเชิงอนุพันธ์แบบใด (1 คะแนน) * \[ \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y+y}{x y^{2}+x} \] สมการเชิงอนฯพันธ์แบบเอกพันธ์ สมการเชิงอน,พันธ์แบบแยกตัวแปรได้้ สมการเชิงอน, พันธ์แบบเชิงเส้น สมการแบบแม่นตรง 2. ข้อใดต่อไปนี้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (1 คะแนน) * \[ \frac{d y}{d x}=\frac{\left(x^{2}+1\right) y}{x\left(y^{2}+1\right)} \] \( \frac{y^{2}}{2}+\ln |y|=x+\ln |x|+C \) \( \frac{y^{2}}{2}+\ln |y|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x|+C \) \( y+\ln |y|=x+\ln |x|+C \) \( y+\ln |y|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x|+C \) 3. ข้อใดต่อไปนี้เป็นคำตอบทั่วไปของสมการ (1 คะแนน) *

เรามาเริ่มกันที่คำถามที่ 1 ก่อนนะครับ ### คำถามที่ 1 สมการที่ให้มาเป็น: \[ \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2} y+y}{x y^{2}+x} \] เราต้องพิจารณาว่าสมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์แบบใด โดยมีตัวเลือกดังนี้: 1. สมการเชิงอนุพันธ์แบบเอกพันธ์ 2. สมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปรได้ 3. สมการเชิงอนุพันธ์แบบเชิงเส้น 4. สมการแบบแม่นตรง #### การวิเคราะห์ 1. **สมการเชิงอนุพันธ์แบบเอกพันธ์**: สมการที่มีรูปแบบ \( \frac{dy}{dx} = f(y) \) หรือ \( \frac{dy}{dx} = f(x) \) เท่านั้น 2. **สมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปรได้**: สามารถเขียนในรูป \( g(y) dy = h(x) dx \) 3. **สมการเชิงอนุพันธ์แบบเชิงเส้น**: มีรูปแบบ \( \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \) 4. **สมการแบบแม่นตรง**: มีรูปแบบ \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \) ในที่นี้ เราสามารถแยกตัวแปรได้จากสมการที่ให้มา โดยการจัดรูปสมการให้เป็น: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y(x^2 + 1)}{x(y^2 + 1)} \] ซึ่งสามารถแยกตัวแปรได้ **คำตอบที่ถูกต้องคือ**: สมการเชิงอนุพันธ์แบบแยกตัวแปรได้ --- ### คำถามที่ 2 สมการที่ให้มาเป็น: \[ \frac{d y}{d x}=\frac{\left(x^{2}+1\right) y}{x\left(y^{2}+1\right)} \] เราต้องหาคำตอบทั่วไปของสมการนี้ โดยมีตัวเลือกดังนี้: 1. \( \frac{y^{2}}{2}+\ln |y|=x+\ln |x|+C \) 2. \( \frac{y^{2}}{2}+\ln |y|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x|+C \) 3. \( y+\ln |y|=x+\ln |x|+C \) 4. \( y+\ln |y|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x|+C \) #### การวิเคราะห์ เราจะต้องหาคำตอบทั่วไปของสมการนี้ โดยการแยกตัวแปรและทำการอินทิเกรต 1. แยกตัวแปร: \[ \frac{(y^2 + 1)}{y} dy = \frac{(x^2 + 1)}{x} dx \] 2. ทำการอินทิเกรตทั้งสองข้าง: \[ \int \left( \frac{y^2}{y} + \frac{1}{y} \right) dy = \int \left( \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} \right) dx \] 3. ผลลัพธ์จากการอินทิเกรตจะได้: \[ \frac{y^2}{2} + \ln |y| = \frac{x^2}{2} + \ln |x| + C \] **คำตอบที่ถูกต้องคือ**: \( \frac{y^{2}}{2}+\ln |y|=\frac{x^{2}}{2}+\ln |x|+C \) --- ### คำถามที่ 3 คำถามนี้ยังไม่มีข้อมูลเพิ่มเติม กรุณาให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมการที่ต้องการวิเคราะห์หรือคำถามที่ต้องการถามครับ