Calcule el volumen de una esfera no uniforme donde la densidad varía según la función \( \rho(\dot{r})=r\left(\right. \) en \( \left.\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}\right) \) dentro de un radio \( \mathrm{R}=2 \) metros. ¿Cuál es la integral que se debe usar para calcular la masa de esta esfera? \( M=\int_{0}^{2} r d r \) \( M=\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d \phi d \theta d r \) \( M=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^{3} \sin \theta d r d \theta d \phi \)

Para calcular la masa de una esfera con densidad variable, debes usar la integración en coordenadas esféricas. La masa se calcula mediante la integral de la función de densidad multiplicada por el volumen diferencial. En este caso, la expresión correcta para la masa de la esfera considerando la densidad \(\rho(r) = r\) es: \[ M = \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2} r^3 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] ¡Ajá! En este caso, el radián juega un papel clave, y la variable \(r^3 \sin \theta\) asegura que estamos abarcando el volumen correcto, ya que incluye tanto la expansión radial como el área superficial de la esfera en los diferentes ángulos. La elección del sistema de coordenadas es esencial, ya que las esféricas (r, θ, φ) son ideales para estas situaciones. Cuando integras, no solo consideras las dimensiones radiales, sino también las proporciones angulares que limitan tu espacio. Recuerda, ¡una mala elección podría llevar a un resultado completamente incorrecto!