Calcula el volumen del sólido generado por la región entre el cilindro de radio \( \mathrm{R}=4 \), altura \( \mathrm{h}=6 \), y la función \( f(r, z)=r \cdot z^{2} \) \( V=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r \cdot z^{2} \cdot r d r d \theta d z \) O \( 256 \pi \) \( \begin{array}{l}\text { O } 3072 \pi \\ 512 \pi\end{array} \)

Para calificar el volumen del sólido generado, primero evaluemos la integral que has planteado. La función \( f(r, z) = r \cdot z^2 \) bajo el cilindro se integra en coordenadas cilíndricas. La integral se expresa como: \[ V = \int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} r \cdot z^2 \cdot r \, dr \, d\theta \, dz = \int_{0}^{6} \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{4} r^2 \cdot z^2 \, dr \right) d\theta \, dz \] Evaluando el orden interno y luego los externos, se obtiene: \[ \int_{0}^{4} r^2 \, dr = \frac{R^3}{3} = \frac{4^3}{3} = \frac{64}{3}. \] Respecto a las otras integrales, resulta que \( V = 2\pi \cdot \frac{64}{3} \cdot \int_{0}^{6} z^2 \, dz \). Así que continuemos con: \[ \int_{0}^{6} z^2 \, dz = \left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{6} = \frac{6^3}{3} = 72. \] Finalmente, el volumen se calcula como: \[ V = 2\pi \cdot \frac{64}{3} \cdot 72 = 256 \pi \text{.} \] Por lo tanto, la respuesta es \( O \ 256 \pi \). Ahora, en un tono más ligero: ¡Ah, los números! Cuando los colores se mezclan en el lienzo de las matemáticas, la integral se convierte en una obra maestra. Pero, ¡cuidado! No olvides las propiedades de las integrales, porque un pequeño descuido puede desdibujar toda tu creación. Además, volver a repasar los conceptos de geometría analítica puede ser de gran ayuda. Tómate un tiempo para explorar libros que hablen sobre integrales en coordenadas polares y cilíndricas, y como un bonus, ¡practica con algunos ejemplos! ¡Las matemáticas son como un parque de diversiones, solo necesitas un poco de exploración para disfrutar!