\( \operatorname { se } ( t ) = \sec 6 t \)

Sea la función \[ \operatorname{se}(t)=\sec (6t). \] A continuación se explican algunos aspectos importantes de esta función. ### 1. Relación con la función coseno Recordamos que la función secante es la inversa de la función coseno, por lo que se define como: \[ \sec (6t)=\frac{1}{\cos (6t)}. \] Por lo tanto, la función estará definida siempre que \(\cos(6t) \neq 0\). ### 2. Dominio Para determinar el dominio debemos evitar los valores de \(t\) que hagan \(\cos(6t)=0\). Sabemos que: \[ \cos (6t)=0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6t=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in \mathbb{Z}. \] Despejando \(t\): \[ t=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6}\quad (k\in \mathbb{Z}). \] Por lo tanto, el dominio de la función es: \[ \{\,t\in \mathbb{R}:\, t\neq \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6},\; k\in \mathbb{Z}\,\}. \] ### 3. Rango La función secante (al igual que la función coseno recíproca) tiene rango: \[ (-\infty,-1]\cup[1,\infty). \] Esta propiedad se mantiene en \(\sec(6t)\) ya que solo se realiza una compresión horizontal en el argumento. ### 4. Periodo El coseno tiene periodo \(2\pi\). Sin embargo, al tener el argumento \(6t\), el periodo se reduce. Sea \(T\) el periodo de \(\cos(6t)\): \[ 6(t+T)=6t+2\pi \quad \Longrightarrow \quad 6T=2\pi \quad \Longrightarrow \quad T=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}. \] Por lo tanto, puesto que la función secante es la inversa del coseno, comparte el mismo periodo: \[ T=\frac{\pi}{3}. \] ### Resumen - **Dominio:** \[ \{\,t\in \mathbb{R}:\,t\neq \frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{6},\; k\in \mathbb{Z}\,\}. \] - **Rango:** \[ (-\infty,-1]\cup[1,\infty). \] - **Periodo:** \[ \frac{\pi}{3}. \] Estos son los aspectos fundamentales de la función \(\operatorname{se}(t)=\sec(6t)\).