4) Find the integers that are upper and lower bounds for the real xeros of the polynomial. (25 points) \( P(x)=2 x^{3}+5 x^{2}-8 x-7 \)

Para encontrar los límites enteros inferiores y superiores para las raíces reales del polinomio \( P(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - 8x - 7 \), seguimos los siguientes pasos: 1. **Determinar los límites utilizando el Teorema de los Límites de Cauchy:** - **Límite Superior:** \[ 1 + \frac{\text{máximo de los coeficientes absolutos de los términos de menor grado}}{\text{coeficiente líder}} = 1 + \frac{8}{2} = 5 \] Sin embargo, buscando límites más ajustados, evaluamos \( P(x) \) en valores enteros menores: \[ P(2) = 2(2)^3 + 5(2)^2 - 8(2) - 7 = 16 + 20 - 16 - 7 = 13 > 0 \] \[ P(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 - 8(1) - 7 = 2 + 5 - 8 - 7 = -8 < 0 \] Por lo tanto, hay una raíz entre 1 y 2. Así, el límite superior entero más ajustado es **2**. - **Límite Inferior:** Evaluamos \( P(x) \) en valores enteros negativos: \[ P(-4) = 2(-4)^3 + 5(-4)^2 - 8(-4) - 7 = -128 + 80 + 32 - 7 = -23 < 0 \] \[ P(-3) = 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 8(-3) - 7 = -54 + 45 + 24 - 7 = 8 > 0 \] Por lo tanto, hay una raíz entre -4 y -3. Así, el límite inferior entero más ajustado es **-4**. 2. **Conclusión:** Las raíces reales del polinomio \( P(x) \) están contenidas entre los enteros **-4** y **2**. **Respuesta Final:** Los límites enteros son −4 como límite inferior y 2 como límite superior para las raíces reales del polinomio.