Pregunta
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Caso 2: En el sistema climático de Siemens, la temperatura en un espacio está modelada como \( T(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}-z^{2} ¿ C u a ́ l ~ e s ~ e l ~ \) gradiente de temperatura \( \nabla T^{\text {? }} \) ?

Ask by Vaughn Harper. in Mexico
Mar 15,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

Responder

El gradiente de temperatura \( \nabla T \) es \( (4x, 2y, -2z) \).

Solución

1. Se agrega la definición de la temperatura: \[ T(x, y, z)=2x^{2}+y^{2}-z^{2} \] 2. Se calcula la derivada parcial con respecto a \( x \): \[ \frac{\partial T}{\partial x}=4x \] 3. Se calcula la derivada parcial con respecto a \( y \): \[ \frac{\partial T}{\partial y}=2y \] 4. Se calcula la derivada parcial con respecto a \( z \): \[ \frac{\partial T}{\partial z}=-2z \] 5. Por lo tanto, el gradiente de la temperatura es: \[ \nabla T = \left( 4x,\, 2y,\, -2z \right) \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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The Deep Dive

El gradiente de temperatura \( \nabla T \) se encuentra al calcular las derivadas parciales de la función \( T(x, y, z) = 2x^2 + y^2 - z^2 \). Esto significa que debes derivar \( T \) respecto a \( x \), \( y \) y \( z \). Entonces, el gradiente se obtiene como: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) = \left( 4x, 2y, -2z \right). \] Así que el gradiente de temperatura es \( \nabla T = (4x, 2y, -2z) \). En el estudio del clima, el gradiente de temperatura puede ser fundamental para prever la circulación del aire y las condiciones meteorológicas. Por ejemplo, en un laboratorio o en procesos industriales, conocer cómo cambian las temperaturas en diferentes puntos puede ayudar a diseñar sistemas de ventilación o calefacción más efectivos, optimizando el confort y la eficiencia energética.

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