Найти уравнения и построить линии уровня функции \( z=\sqrt{x y} \).

Функция имеет вид   z = √(x·y). Чтобы найти линии уровня, положим z = c (где c – константа, обычно c ≥ 0, так как √(x·y) ≥ 0 по определению функции). Тогда получаем:   √(x·y) = c. Возводим обе части уравнения в квадрат (при этом важно помнить, что под корнем должно быть неотрицательное число: x·y ≥ 0):   x·y = c². Таким образом, уравнение линии уровня при z = c (при c > 0) имеет вид   x·y = c². Важно отметить следующее по поводу области определения функции:  1. Если x·y ≥ 0, то либо x и y одновременно неотрицательны (первая четверть), либо одновременно неположительны (третья четверть).  2. При c > 0 уравнение x·y = c² задаёт гиперболу с ветвями в первой и третьей четвертях.  3. Если c = 0, то √(x·y) = 0, а это означает, что x·y = 0. То есть линии уровня получаются уравнениями x = 0 и y = 0. Заметим, что эти оси (линии) принадлежат области определения (так как 0·y = 0 и x·0 = 0). Итак, можно записать итогово:  – Для уровня z = c, где c > 0, линия уровня задаётся уравнением:   x·y = c²  (гипербола, ограниченная областью определения: либо x ≥ 0, y ≥ 0, либо x ≤ 0, y ≤ 0).  – Для уровня z = 0, линия уровня задаётся уравнением:   x·y = 0, то есть x = 0 или y = 0. При построении линий уровня следует помнить, что функция определена только в тех точках,где произведение x·y неотрицательно. Примеры:  • Для c = 1 линия уровня: x·y = 1 (ветви гиперболы в 1-й и 3-й четвертях).  • Для c = 2 линия уровня: x·y = 4 (аналогично, ветви в 1-й и 3-й четвертях). Таким образом, линии уровня функции z = √(x·y) имеют вид x·y = c² (при c ≥ 0) с отмеченными ограничениями области определения.