Ejercicio 1. Analiza y resuelve las siguientes integrales 1. \( \int\left(\tan ^{2} x+\frac{e^{\ln x}}{x}+e^{\ln x}\left(\operatorname{sen}^{2} x+\cos ^{2} x\right)\right) d x \) 2. \( \int \frac{\operatorname{sen} 2 x-2 \operatorname{sen} x}{1-\cos x} d x \)

1. Dada la integral \[ \int\left(\tan ^{2} x+\frac{e^{\ln x}}{x}+e^{\ln x}\left(\sen^{2} x+\cos^{2} x\right)\right) dx \] observamos lo siguiente: - Recordamos que \(\sen^{2} x+\cos^{2} x=1\). - Además, \(e^{\ln x}=x\). Por lo tanto, sustituimos en la integral: \[ \int \left(\tan^{2} x+\frac{x}{x}+x\right)dx = \int \left(\tan^{2} x+1+x\right)dx. \] Ahora, usamos la identidad \(\tan^{2} x+1=\sec^{2} x\), obteniéndose: \[ \int \left(\sec^{2} x+x\right)dx. \] Separamos la integral en dos: \[ \int \sec^{2} x\,dx+\int x\,dx. \] Calculamos cada una: - \(\int \sec^{2} x\,dx = \tan x\). - \(\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\). Por lo tanto, la solución es \[ \tan x+\frac{x^{2}}{2}+C. \] --- 2. Dada la integral \[ \int \frac{\sen 2x-2\sen x}{1-\cos x}dx. \] Empezamos escribiendo \(\sen 2x\) utilizando la fórmula del ángulo doble: \[ \sen 2x=2\sen x\cos x. \] Entonces el numerador se convierte en: \[ 2\sen x\cos x-2\sen x = 2\sen x\left(\cos x-1\right). \] La integral queda: \[ \int \frac{2\sen x\left(\cos x-1\right)}{1-\cos x}dx. \] Observamos que \(1-\cos x\) es lo opuesto a \(\cos x-1\), es decir, \(1-\cos x=-(\cos x-1)\). Así, se tiene: \[ \frac{2\sen x\left(\cos x-1\right)}{1-\cos x}=\frac{2\sen x\left(\cos x-1\right)}{-\left(\cos x-1\right)}=-2\sen x, \] siempre que \(\cos x\neq 1\). La integral se simplifica a: \[ \int -2\sen x\,dx. \] La integral de \(\sen x\) es: \[ \int \sen x\,dx=-\cos x, \] por lo tanto, \[ \int -2\sen x\,dx=2\cos x+C. \] --- Las respuestas finales son: 1. \(\tan x+\frac{x^{2}}{2}+C\). 2. \(2\cos x+C\).