$$ C = \{ x \in R : x = \sin ( \frac { n \pi } { 4 } ) , n \in N \} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Consideramos el conjunto  
   $$
   C = \{ x \in \mathbb{R} : x = \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right),\; n \in \mathbb{N} \}.
   $$

2. Notamos que la función $$ \sin $$ es periódica con período $$ 2\pi $$. Puesto que el argumento es $$ \frac{n\pi}{4} $$, la secuencia de valores se repite cada 8 valores de $$ n $$ (ya que $$ \frac{(n+8)\pi}{4} = \frac{n\pi}{4} + 2\pi $$).

3. Calculamos los valores para $$ n = 0, 1, 2, \dots, 7 $$ (asumiendo que $$ \mathbb{N} $$ incluye al $$ 0 $$; si la definición empieza en $$ 1 $$, el conjunto resultante será el mismo conjunto de valores distintos):

- Para $$ n = 0 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{0\cdot\pi}{4}\right) = \sin(0) = 0.
     $$
     
   - Para $$ n = 1 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
     $$
     
   - Para $$ n = 2 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.
     $$
     
   - Para $$ n = 3 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
     $$
     
   - Para $$ n = 4 $$:
     $$
     \sin\left(\pi\right) = 0.
     $$
     
   - Para $$ n = 5 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
     $$
     
   - Para $$ n = 6 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1.
     $$
     
   - Para $$ n = 7 $$:
     $$
     \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
     $$
  
4. La secuencia resultante es periódica y se repite cada 8 términos, por lo que los valores distintos que se obtienen son:
   $$
   \{-1,\; -\frac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; 1\}.
   $$

5. Por lo tanto, el conjunto $$ C $$ está dado por:
   $$
   C = \left\{-1,\; -\frac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; 1\right\}.
   $$
El conjunto $$ C $$ consta de los valores $$ \{-1,\; -\frac{\sqrt{2}}{2},\; 0,\; \frac{\sqrt{2}}{2},\; 1\} $$.

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