4. \( ||x-3|+4|<6 \) eşitsizliğinı sağlayan kaç farklı tam sayı değeri vardır? \( \begin{array}{lllll}\text { A) } 2 & \text { B) } 3 & \text { C) } 4 & \text { D) } 6 & \text { E) } 7\end{array} \)

Verilen eşitsizlik: \[ ||x-3|+4|<6 \] Öncelikle içteki mutlak değeri inceleyelim: \[ |x-3| + 4 < 6 \] Bu eşitsizliği sadeleştirirsek: \[ |x-3| < 6 - 4 \] \[ |x-3| < 2 \] Şimdi bu mutlak değeri açalım: \[ -2 < x - 3 < 2 \] Bu eşitsizliği iki ayrı eşitsizlik olarak yazabiliriz: 1. \( x - 3 < 2 \) 2. \( x - 3 > -2 \) Birinci eşitsizliği çözelim: \[ x < 5 \] İkinci eşitsizliği çözelim: \[ x > 1 \] Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: \[ 1 < x < 5 \] Bu aralıkta bulunan tam sayılar: 2, 3, 4'tür. Dolayısıyla, bu eşitsizliği sağlayan farklı tam sayı değerlerinin sayısı 3'tür. Cevap: **B) 3**