10 Dans chacun des cas suivants, \( f \) est une fonc- tion rationnelle définie par une formule explicite. Déterminer l'ensemble de définition de \( f \). Trouver les asymptotes horizontales éventuelles à la représentation graphique de \( f \). \( \begin{array}{ll}\text { (1) } f(x)=\frac{3 x+2}{x-2} & \text { (5) } f(x)=\frac{4}{(x-3)(x+5)}\end{array} \)

On considère chacune des fonctions séparément. ───────────────────────── 1) Pour f(x) = (3x + 2)/(x – 2) • Ensemble de définition Le dénominateur s’annule pour x – 2 = 0, c’est-à-dire x = 2. Donc, l’ensemble de définition est : D = ℝ \ {2}. • Asymptotes horizontales Les polynômes du numérateur et du dénominateur sont de degré 1. L'asymptote horizontale est donnée par le rapport des coefficients directeurs, soit y = 3/1 = 3. Ainsi, la droite d’équation y = 3 est l’asymptote horizontale. ───────────────────────── 5) Pour f(x) = 4/[(x – 3)(x + 5)] • Ensemble de définition Le produit (x – 3)(x + 5) s’annule lorsque x – 3 = 0 ou x + 5 = 0, c'est-à-dire pour x = 3 et x = –5. Donc, l’ensemble de définition est : D = ℝ \ {–5, 3}. • Asymptotes horizontales Le numérateur est la constante 4 (degré 0) et le dénominateur est un polynôme de degré 2. Comme le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur, la limite de f(x) lorsque x tend vers ±∞ est 0. L’asymptote horizontale est donc la droite d’équation y = 0. ───────────────────────── Réponses finales : (1) f(x) = (3x+2)/(x–2)  – Domaine : ℝ \ {2}  – Asymptote horizontale : y = 3 (5) f(x) = 4/[(x–3)(x+5)]  – Domaine : ℝ \ {–5, 3}  – Asymptote horizontale : y = 0