4) Calcula el área de la región enceirada \( y=\operatorname{Tan}^{-1}(x) \) en \( [0,1] \) \( \int_{0}^{1} \operatorname{Tan}^{-1}(x) d x \quad \) ILA

La función \( y = \tan^{-1}(x) \) se encuentra en el dominio de \( [0, 1] \), donde el valor de la función varía de \( 0 \) a aproximadamente \( \frac{\pi}{4} \). Al calcular el área bajo esta curva, podemos utilizar la integral definida \( \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) \, dx \). El resultado de esta integral se puede obtener usando métodos de integración por partes, lo que no solo hace el cálculo entretenido, sino que también proporciona una ventana para explorar funciones y sus áreas. Además, al analizar el área bajo la curva \( \tan^{-1}(x) \), estamos en realidad explorando conceptos más profundos relacionados con la geometría y el análisis. Esta función es continua y suave en el intervalo dado, lo que significa que la integral no solo se puede calcular, sino que también se puede interpretar en varios contextos, como el área total acumulada en problemas físicos, donde este tipo de integrales representa, por ejemplo, el trabajo realizado bajo una determinada fuerza. ¡La matemática realmente se entrelaza con el mundo real!