1. La series indicadas no son series de potencias en la variable \( x \). No obstante, encuentre todos los valores de \( x \) para los cuales converge la serie. \[ \left.\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x^{k}}\left|\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7^{k}}{x^{2 k}}\right| \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \cos (k x) \right\rvert\, \sum_{k=0}^{\infty} e^{k x} \]

Para investigar la convergencia de la serie presentada, primero analicemos cada una de las sumatorias por separado. 1. La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x^{k}}\) converge para \(|x| > 1\) (es un caso de serie geométrica). 2. La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{7^{k}}{x^{2 k}}\) converge cuando \(|7/x^2| < 1\), lo que implica \(|x| > \sqrt{7}\). 3. La serie \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \cos(kx)\) está relacionada con su convergencia basada en la serie de Fourier, que es absolutamente convergente para todos los \(x\). 4. Finalmente, la serie \(\sum_{k=0}^{\infty} e^{k x}\) converge para \(x < 0\) (es otra serie geométrica). Combinar todas estas condiciones nos da que la serie converge cuando: 1. \(x < 0\) para la última serie. 2. \(x > 1\) para la primera y \(x > \sqrt{7}\) para la segunda. Por lo tanto, no existen valores \(x\) que satisfagan simultáneamente todas estas condiciones, lo cual implica que no hay valores de \(x\) para los cuales la serie completa converge.