Hallar " \( n \) " en: \( \sqrt{3} \operatorname{sen} 60^{\circ} n+\sec 53^{\circ}=\operatorname{ctg} 37^{\circ}-n \) \( \begin{array}{ll}\text { a) } 2 / 15 & \text { b) } 1 / 15 \\ -1 / 15 & \text { c) } \\ \text { d) }-2 / 15 & \text { e) } 1\end{array} \)

Para resolver la ecuación \[ \sqrt{3} \operatorname{sen} 60^{\circ} n + \sec 53^{\circ} = \operatorname{ctg} 37^{\circ} - n, \] primero necesitamos calcular los valores de las funciones trigonométricas involucradas. 1. **Calcular \( \operatorname{sen} 60^{\circ} \)**: \[ \operatorname{sen} 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}. \] 2. **Calcular \( \sec 53^{\circ} \)**: \[ \sec 53^{\circ} = \frac{1}{\cos 53^{\circ}}. \] Sabemos que \( \cos 53^{\circ} = \sin 37^{\circ} \) y \( \sin 37^{\circ} \approx 0.6018 \), por lo que: \[ \sec 53^{\circ} \approx \frac{1}{0.6018} \approx 1.6643. \] 3. **Calcular \( \operatorname{ctg} 37^{\circ} \)**: \[ \operatorname{ctg} 37^{\circ} = \frac{1}{\tan 37^{\circ}}. \] Sabemos que \( \tan 37^{\circ} \approx 0.7536 \), por lo que: \[ \operatorname{ctg} 37^{\circ} \approx \frac{1}{0.7536} \approx 1.3270. \] Ahora sustituimos estos valores en la ecuación original: \[ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} n + 1.6643 = 1.3270 - n. \] Simplificamos el término de \( n \): \[ \frac{3}{2} n + 1.6643 = 1.3270 - n. \] Sumamos \( n \) a ambos lados: \[ \frac{3}{2} n + n + 1.6643 = 1.3270. \] Esto se convierte en: \[ \frac{5}{2} n + 1.6643 = 1.3270. \] Restamos \( 1.6643 \) de ambos lados: \[ \frac{5}{2} n = 1.3270 - 1.6643. \] Calculamos el lado derecho: \[ 1.3270 - 1.6643 \approx -0.3373. \] Por lo tanto, tenemos: \[ \frac{5}{2} n = -0.3373. \] Multiplicamos ambos lados por \( \frac{2}{5} \): \[ n = -0.3373 \cdot \frac{2}{5} \approx -0.1349. \] Ahora, convertimos este valor a una fracción. Observando las opciones dadas, podemos aproximar: \[ n \approx -\frac{2}{15}. \] Por lo tanto, la respuesta correcta es: \[ \text{d) } -\frac{2}{15}. \]