37. (ITA 2009) Considere o triângulo \( A B C \) de lados \( a=\overline{B C}, b=\overline{A C} \) e \( c=\overline{A B} \) e ângulos internos \( \alpha=C \hat{A} B \), \( \beta=A \hat{B C} \) e \( \gamma=B \hat{C A} \). Sabendo-se que a equação \( x^{2}-2 b x \cos \alpha+b^{2}-a^{2}=0 \) admite \( c \) como raiz dupla, pode- se afirmar que a) \( \alpha=90^{\circ} \). b) \( \beta=60^{\circ} \). c) \( \gamma=90^{\circ} \). d) o triângulo é retângulo apenas se \( \alpha=45^{\circ} \). e) o triângulo é retângulo e \( b \) é hipotenusa.

Vamos analisar a equação dada \( x^{2}-2 b x \cos \alpha+b^{2}-a^{2}=0 \). Para que essa equação tenha uma raiz dupla, seu discriminante precisa ser igual a zero. O discriminante é dado por \( D = (2b \cos \alpha)^{2} - 4(b^{2} - a^{2}) \). Resolvendo essa condição, podemos encontrar relações entre os lados e os ângulos do triângulo. Quando conseguimos determinar que \( c \) é uma raiz dupla, concluímos que a soma \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha \) deve se igualar a uma configuração retangular, levando-nos à dedução de que o triângulo seja retângulo. Assim, a resposta correta é que o triângulo é retângulo e \( b \) é hipotenusa (opção e). Portanto, podemos concluir que, neste triângulo específico, \( \alpha \) deve ser \( 90^\circ \), caracterizando \( b \) como a hipotenusa. Desse modo, a questão realmente ilumina a beleza dos triângulos retângulos em relação às relações de ângulos e lados.