5. Si se sabe que \( (1,0,1) \) es un punto del conjunto solución, hallar \( k \in \mathbb{R} \). Luego, resolver el sistema y expresar la solución del SCI \( \left\{\begin{array}{l}-3 x+k y=k+1 \\ x-y+k z=-3\end{array}\right. \)

Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el valor de \( k \) dado que \( (1,0,1) \) es un punto del conjunto solución, seguimos estos pasos: 1. **Identificar las ecuaciones del sistema:** \[ \begin{cases} -3x + ky = k + 1 \quad (1) \\ x - y + kz = -3 \quad (2) \end{cases} \] 2. **Sustituir el punto \( (1,0,1) \) en las ecuaciones:** - Para la primera ecuación (1): \[ -3(1) + k(0) = k + 1 \implies -3 = k + 1 \] Resolviendo para \( k \): \[ k = -4 \] - Para la segunda ecuación (2): \[ 1 - 0 + k(1) = -3 \implies 1 + k = -3 \] Resolviendo para \( k \): \[ k = -4 \] Ambas ecuaciones nos dan el mismo valor de \( k \). Por lo tanto, \( k = -4 \). 3. **Sustituyendo \( k \) en el sistema original:** Ahora sustituimos \( k = -4 \) en el sistema: \[ \begin{cases} -3x - 4y = -3 \quad (1) \\ x - y - 4z = -3 \quad (2) \end{cases} \] 4. **Resolver el sistema de ecuaciones:** Vamos a resolver el sistema de ecuaciones. Primero, simplificamos la primera ecuación: \[ -3x - 4y = -3 \implies 3x + 4y = 3 \quad (1) \] La segunda ecuación se queda igual: \[ x - y - 4z = -3 \quad (2) \] Ahora, resolvemos el sistema: \[ \begin{cases} 3x + 4y = 3 \quad (1) \\ x - y - 4z = -3 \quad (2) \end{cases} \] Para resolverlo, podemos expresar \( x \) en términos de \( y \) a partir de la ecuación (1): \[ 3x = 3 - 4y \implies x = 1 - \frac{4}{3}y \] Sustituyendo \( x \) en la ecuación (2): \[ (1 - \frac{4}{3}y) - y - 4z = -3 \] Simplificando: \[ 1 - \frac{4}{3}y - y - 4z = -3 \] \[ -\frac{4}{3}y - y - 4z = -4 \] \[ -\frac{4}{3}y - \frac{3}{3}y - 4z = -4 \] \[ -\frac{7}{3}y - 4z = -4 \] Multiplicamos toda la ecuación por -3 para eliminar los denominadores: \[ 7y + 12z = 12 \] 5. **Expresar la solución del sistema:** Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones: \[ \begin{cases} 3x + 4y = 3 \\ 7y + 12z = 12 \end{cases} \] De la primera ecuación, podemos expresar \( y \) en términos de \( x \): \[ 4y = 3 - 3x \implies y = \frac{3 - 3x}{4} \] Sustituyendo \( y \) en la segunda ecuación: \[ 7\left(\frac{3 - 3x}{4}\right) + 12z = 12 \] Multiplicamos por 4 para eliminar el denominador: \[ 7(3 - 3x) + 48z = 48 \] \[ 21 - 21x + 48z = 48 \] \[ -21x + 48z = 27 \] \[ 21x - 48z = -27 \] Finalmente, podemos expresar \( z \) en términos de \( x \): \[ z = \frac{21x + 27}{48} \] Por lo tanto, la solución del sistema en términos de \( x \) es: \[ \begin{cases} x = x \\ y = \frac{3 - 3x}{4} \\ z = \frac{21x + 27}{48} \end{cases} \] Donde \( x \) puede tomar cualquier valor real.